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jueves, 28 de agosto de 2014

Reglas básicas de derivación e integración


Derivada de una función:

Se define como la razón de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente.

Las derivadas de las diferentes funciones básicas son:
la derivada de una constante,la derivada de una función idéntica,la derivada de una suma y diferencia de dos funciones,la derivada del producto de dos funciones,la derivada del cociente de dos funciones y la derivada de una potencia.
Derivada de una constante:
La derivada de una constante se define como igual a cero.
y=k

Derivada de una función identica:
La derivada de una funcion identica se define como igual a uno.
y=x
Derivada de la suma y diferencia de dos funciones:
se define como la derivada de la suma y la diferencia de la dos funciones.
Derivada del producto de dos funciones:
Es igual a la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera función.
Derivada del cociente de dos funciones:
Es igual a el denominador multiplicado por la derivada del numerador menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo esto dividido entre el denominador elevado al cuadrado.
Derivada de una potencia:
Es igual al numero que corresponde al exponente multiplicado por la función elevada al exponente disminuido en uno.
Una de las muchas aplicaciones de las derivadas es que la derivada geometricamente representa la pendientes de una función
Definición de recta tangente con pendiente m:
Si f está definida en un intervalo abierto que contiene a c y además existe el límite

entonces ,la recta que pasa por (c,f(c)) y cuenta con la pendiente m es la recta tangente de f en el punto (c,f(c)).
Ejemplo:
Calcular las pendientes de las rectas tangente a la gráfica de 
f(x) = x2 + 1 en los puntos (0,1) y (-1,2)  y representarlos en una gráfica.
Solución: 
Utilizando las reglas básicas de derivación tenemos que 
\(f'\left(x\right)=\frac{d\left [  {x}^{2}\right ]}{dx}+\frac{d\left[1\right]}{dx}=2x\)
\(f'\left(x\right)=2x\)
\(f'\left(0\right)=2\left(0\right)=0\)
\(f'\left(-1\right)=2\left(-1\right)=-2\)
Las gráficas de las rectas que tienen esta pendiente son:

Para saber más sobre derivación haga clic aquí en: 
derivada
Criterio de la primera derivada .

Derivada de una potencia

Cálculo integral:
La integración de define como la operación inversa o contraria a la derivación,a la integración es llamada muchas veces antiderivada.
La integración se representa por el símbolo ∫ que es un s alargada 
esta notación fue utilizada por primera vez por LEIBNITZ,otra notación que se utilizaba era A(x) que significa antiderivada.
De manera  que la integral de una función f(x) es otra función p(x).
La función que se obtiene como resultado de integral f(x) es conocida como función primitiva de f(x).
Ejemplo las funciones primitivas de  f(x) = x4son:

Esta son primitiva ya que cuando derivamos cada una de estas funciones nos da como resultado \({x}^{4}\)
Integral indefinida:
Como se acaba de ver cada una de las funciones anteriores tienen como derivada  f(x) = x4 , esto significa que esta tiene varias funciones primitivas ,y esta solo difieren en una constante C.
La constante C, la cual no es una constante definida al obtener la primitiva de la función,por esta razón a estas integrales se le conoce como indefinidas.


Por tanto todas aquellas funciones de la forma 



donde C es una constante son funciones primitivas de x4 .
Por lo tanto de lo que acabamos de ver podemos decir que si dos funciones difieren en una constante  entonces sus derivadas son iguales y si dos funciones tienen igual derivada entonces difieren en una constante
La reglas básicas de integración son las siguientes:
La integral de la suma y diferencia de dos funciones:
Es igual a la integral de la suma y diferencia de las dos funciones.

La integral de una constante por una expresión diferencial:
Es igual a la constante multiplicada por la integral de la función.

La integral de una potencia de exponente racional:

La integral de una funcion como esta es:

Aquí tenemos algunos ejemplos de como aplicar las reglas anteriores.