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viernes, 26 de septiembre de 2014

Conjunto de los números racionales

Conjunto de los números racionales:
Los números racionales se definen como aquellos que pueden expresarse como el cociente indicado de dos números enteros donde el denominador es diferente de cero o aquellos que pueden ser expresado como decimales periódicos o exactos.
Este conjunto se nombra con la letra Q.

Ejemplos:

El conjunto de los números racionales está conformado por los números enteros y los números fraccionarios.
La propiedad fundamental o más importante de los números racionales es la propiedad de densidad ,que se expresa así:
entre dos números racionales existen infinitos números racionales.
Fracciones decimales y números decimales:
Cuando el denominador de una fracción es:

Las fracciones siguientes :


son fracciones decimales.
0.7,0.12 y 0.005 ,son números decimales y se leen así:
0.7 = sietes décimas
0.12= doce centésimas
0.005= cinco milésimas
Unos de los ideologo de la forma en que se escriben los números fraccionarios mediante el punto decimal fue el matemático Juan Neper.
Clasificación de los decimales:
Los decimales se clasifican en:
--Decimales exactos
--Decimales periódicos puros
--Decimales periódicos mixtos
Decimales exactos:
Son aquellos que donde hay dividir el numerador entre el denominador se obtiene como residuo cero.
Ejemplos:

Decimales periódicos puros:
Son aquellos decimales en que se repite una cifra o un grupo de cifras después del punto decimal.
Ejemplos:
0.3333....      0.77777.....   0.242424.....
La condición de periodicidad se simboliza por:∩ o __
Ejemplos:

Decimales periódicos mixtos:
Son aquellos decimales cuyos períodos de repetición no inicia con la cifra inmediatamente después del punto decimal,sino con la segunda,tercera y así sucesivamente.
Ejemplos:
0.35555....
0.21333333....
¿Cómo llevar un decimal exacto a fracción?
a-Multiplicamos el  decimal y lo dividimos por una misma cantidad esta cantidad es la unidad seguida por tantos ceros como lugares haya en el decimal después del punto decimal.
Ejemplos:

¿Cómo llevar un decimal periódico puro a fracción?
1-Representamos la fracción como:

2-Multiplicamos cada mienbro de la igualdad por la unidad seguida de ceros como cifras periódicas tenga el ciclo de repetición.

3- Restamos a ambos lados de la igualdad la expresión inicial.

Y la fracción buscada es:

¿Cómo llevar un decimal periódico mixto a fracción?
1-Representamos la fracción como:

2-Como existe una cifra que no es periódica ,procedemos a multiplicar por diez ambos lados de la igualdad.

3- Ahora multiplicamos ambos miembros de la igualdad por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte periódica, esta ocasión 100.

4-Restamos la expresión número dos a ambos lados de la igualdad.


Y la fracción buscada es:

Fracción generatriz:
Es el número fraccionario que da origen a una expresión decimal.
Ejemplos:
La fracción que genera 0.5 es:

La fracción que genera 0.7777.....,  es:

Historia de los números racionales
En la antiguedad los babilónicos usaban fracciones en donde el denominador  era una potencia de 60, sin embargo los egipcios utilizaron,sobre todo,las fracciones con numerador igual a 1.
En la escritura antigua,la fracción fueron expresada con un óvalo,que significaba parte o partido.,y abajo, o al lado,ponían el denominador , el numerador nunca se ponía por ser siempre uno.
Los romanos y los griegos utilizaron también las fracciones unitarias, cuyo uso se mantuvo hasta la epoca medieval.En el siglo XIII,Leonardo de Pisa,conocido como Fibonacci, famoso,entre otras cosas por la serie de Fibonacci,introdujo en Europa la barra horizontal para separar el numerador y el denominador en las fracciones.
A inicios del siglo XV,el árabe Al Kashi fue el que universalizó el uso de los números decimales tal y como los conocemos hoy.
A finales del siglo XVI, Simon Stevin desarrollo y extendió las fracciones decimales que se expresaban por medio de números decimales,décimas,centésimas,milésimas,etc.
A inicios del siglo XVII,los números decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy.separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal.Los números decimales se impusieron,en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal,en el siglo XVIII, de manera concreta en el 1792.
Vea también
Conjunto de los números enteros
Conjunto de los números irracionales
Conjunto de los números reales