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viernes, 3 de octubre de 2014

Propiedades y Operaciones en los conjuntos numéricos

A- Ley de la composición interna.
Esta se cumple cuando al realizar una operación con dos o más elementos de un conjunto dado,el resulltado de esta operación es otro elemento que también pertenece al conjunto, a esta ley también se le conoce como ley de clausura o cerradura de un conjunto bajo una operación.
Ejemplo
Sea \(B=\left\{{-4,-2,0,2}\right\}\), si consideramos la operación \(x\).
Cuando efectuamos la multiplicación con dos elementos del conjunto \(B\), el resultado es otro elemento del conjunto \(B\) .En consecuencia la multiplicación es una operación interna en el conjunto \(B\)
El simbolo \(\ast\), indica que la operación es interna en el conjunto o binaria en el conjunto considerado.
Se dice que es binaria cuando la operación se realiza con dos elementos del conjunto considerado.
Entonces la operación interna binaria \(\ast\) es interna en \(B\), si y solo si para todo \(x,y\) , se verifica que \(\left(x\ast y\right)\in A\) , \(A\neq\oslash \)
Operaciones internas en los conjuntos númericos
Conjunto de los números naturales:
Las operaciones internas en el conjunto de los números naturales son la adicción y la multiplicación esto se expresa así:
\({ \forall{} }_{a , b}\in N\)
Se verifica que :
\(1\: a+b=c \:\:\: c\in{} N\)
\(2\: axb=d \:\:\:\:\: d\in{} N\)
Si consideramos ejemplos numéricos, se verifica que:
\(1\: 3+8=11\:\:\: 11\in{} N\)
\(2\: 3x8=24\:\:\:\:\:\: 24\in{} N\)
Por tanto la sustracción y la división no son internas en el conjunto de los números naturales \(N\).
Operaciones internas en los enteros
\( {\forall{} }_{a,b,c}\in{} Z\) se verifica que
\(1\:\: a+b=c \:\:\: c\in{} Z\)
\(2\:\: axb=d \:\:\:\:\: d\in{}Z\)
\(3\:\: a-b=e \:\:\: e\in{}Z\)
\(4\:\:b-a=f\:\:\:f\in{}Z\)
Ejemplos:
Sean -\(4\) y \(8\) dos enteros:
\(1\:-4+8=4 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:4\in{}Z\)
\(2 \:-4-8=-12\:\:\:\:\:-12\in{}Z\)
\(3\:-4x8=-32\:\:\:\:\:\:\:\:-32\in{}Z\)

Operaciones Internas en el conjunto de los números racionales y los reales
La operaciones definidas para el conjunto de los números racionales y reales son la adición,sustracción y multiplicación.
Si tenemos \(Q\) y \(R\) sin el cero \({Q}_{0}\) y \({R}_{0}\), entonces si podemos decir que la división es interna en \({Q}_{0}\) y \({R}_{0}\) .
b) Propiedad conmutativa.
1-En la adición , se verifica que \(a+b=b+a\),el orden de los sumandos no altera la suma.
Ejemplo:
\(1\:\: 2+4=4+2\)
\(2\:\: 2+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+2\)
2- En la multiplicación ,se cumple que \(axb=bxa \),el orden de los factores no altera el producto.
Ejemplo:
\(1\:\:7 x 3=3 x 7\)
\(2\:\:8 x 0.5=0.5 x 8\)

c) Propiedad asociativa
1- En la adición ,se cumple que \(\left({a+b}\right)+c=a+\left({b+c}\right)\),la manera en que se asocien los sumando no altera la suma.
Ejemplos:
\(1\:\:\left(3+5\right)+8=3+\left(5+8\right)\)
\(2\:\:\left(0.7+6\right)+3=0.7+\left(6+3\right)\)
2-En la multiplicación , se cumple que \(\left(axb\right)xc=ax\left(bxc\right)\),la manera en que se asocien los factores no altera el producto.
Ejemplos
\(1\:\:\left(2x\frac{1}{2}\right)x\sqrt{2}=2x\left(\frac{1}{2}x\sqrt{2}\right)\)
\(2\:\:\left(3x5\right)x7=3x\left(5x7\right)\)
d) Propiedad distributiva
1- Propiedad distributiva de la multiplicación con relación a la suma y sustracción.
\(ax\left(b\pm c \right)=ab\pm ac\)
Ejemplos:
\(1\:\:2\left(7+8\right)=2\cdot 7+2\cdot 8\)
\(2\:\:3\left(6-2\right)=3\cdot 6-3\cdot 2\)
2-Propiedad distributiva de la potencia con relación a la multiplicación.
\({\left(axb\right)}^{n}={a}^{n} x {b}^{n}\)
Ejemplo
\({\left(2{x}^{3}y\right)}^{2}={2}^{2}{\left({x}^{3}\right)}^{2}{y}^{2}=4{x}^{6}{y}^{2}\)
3- Propiedad distributiva de potenciación con relación a la división.
\({\left(\frac{a}{b}\right)}^{n}=\frac{{a}^{n}}{{b}^{n}}\)
Ejemplo:
\({\left(\frac{2x}{{y}^{2}}\right)}^{2}=\frac{{2x}^{2}}{{y}^{2}}=\frac{{2}^{2}{x}^{2}}{{y}^{4}}=\frac{4{x}^{2}}{{y}^{4}}\)
4- Propiedad distributiva de la radicación con relación a la multiplicación.
\(\sqrt[n]{axb}=\sqrt[n]{a}x\sqrt[n]{b}\)
Ejemplos:
\(1\:\: \sqrt{16{x}^{4}b}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{{x}^{4}}\cdot\sqrt{b}=\)
\(\sqrt{16{x}^{4}b}=4{x}^{2}\sqrt{b}\)
\(2\:\: \sqrt[3]{8{y}^{6}}=\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{{y}^{6}}=\)
\(=\sqrt[]3{{2}^{3}}\cdot\sqrt[3]{{y}^{6}}=2{y}^{2}\)
\(3\:\: \sqrt[3]{32}=\sqrt[3]{8x4}=\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{4}=\)
\(=\sqrt[3]{{2}^{3}}\cdot\sqrt[3]{4}=2\sqrt[3]{4}\)
5-Propiedad distributiva de la radicación con relación a la división.
\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)
Ejemplo:
\(\sqrt{\frac{16{x}^{2}}{{y}^{2}}}=\frac{\sqrt{16{x}^{2}}}{\sqrt{{y}^{2}}}=\frac{\sqrt{16}\cdot\sqrt{{x}^{2}}}{y}=\frac{4x}{y}\)
e) Propiedad de identidad
El elemento neutro de una operación interna \(\bigtriangleup\) definida en un conjunto \(A\) es un elemento \(u\) que cumple con: \(u\bigtriangleup a = a\) ,se dice que \(u\) es el elemento neutro de la operación \(\bigtriangleup\) en \(A\)
El elemento \(u\) también es llamado identidad de la operación \(\bigtriangleup.\)

1.En la adición.
El neutro o identidad aditiva es el número real 0, ya que se cumple que: \(a+ 0 = a\)  y  \(0+ a = a\), \(u=0\)
Ejemplo:
\(\frac{2}{3}+0 = 0+\frac{2}{3}\)
2.En la multiplicación.
El número neutro o identidad aditiva es el número 1, ya que se cumple que para todo \(a \) elemento de los números reales.
\(a x 1=a\)  y   \(1 x a=a\), \(u=1\)
Ejemplo:
\(-7 x 1 = -7\:\:\:\: 8 x 1 = 8\)
f) Propiedad de los inversos o simétricos
Si al efectuar una operación con dos números, obtenemos como resultado el neutro de la operación efectuada ,entonces uno es el inverso del otro, con relación a la operación considerada.
1-En la adición
El simétrico aditivo u opuesto de un número real \(a\) es el opuesto  
\(-a\) ya que para este número real se verifica que:
\(a+ \left(-a\right) = 0\) , donde 0 es el neutro de la adición.
Ejemplo
\(8+ \left(-8\right) = 0\)
2-En la multiplicación
El simétrico multiplicativo o reciproco de un número real \(a\), diferente de cero es \(\frac{1}{a}\), ya que se cumple que \(a\cdot\frac{1}{a}=1\), donde \(1\) es el elemento neutro de la multiplicación
Ejemplos
Hallar los simétricos aditivos y multiplicativos:
NúmeroSimétrico aditivoSimétrico multiplicativo
\(8\)\(-8\)\(\frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)\(-\frac{2}{3}\)\(\frac{3}{2}\)
\(\frac{5}{9}\)\(-\frac{5}{9}\)\(\frac{9}{5}\)
\(\sqrt{2}\)\(-\sqrt{2}\)\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

g) Propiedad absorbente
Sea \(\bigtriangleup \) una operación interna en un conjunto \(B\) si existe un elemento \(u\) que pertenece al conjunto \(B \) de manera que cualquier elemento de \(B\) verifique que:   \(a\bigtriangleup u=u\)
Se dice que \(u\) es el elemento absorbente de la operación \(\bigtriangleup \) en \(B\)
En la multiplicación el elemento absorbente es cero
Ejemplo:
\(3 x 0 = 0\)
La adición no tiene elemento absorbente.
Vea también
Cumplimiento de una propiedad en una operación de números reales