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miércoles, 26 de noviembre de 2014

Distancia de un punto a una recta

1.1-Distancia de un punto a una recta(deducción 1)
1.2-Distancia de un punto a una recta(deducción 2)
1.3-Distancia de un punto a una recta(deducción 3)


Distancia de un punto a una recta
Dedución 1
En este post mostraremos como deducir de manera algebraica la distancia de un punto p(x1,y1)  en el plano xy a una recta dada su forma general como Ax+By+C=0 este problema de geometría analítica también puede ser abordado desde los conceptos de vectores . Cuándo hablamos de la distancia de un punto a una recta en el plano nos referimos  a distancia más corta que debe haber entre el punto y la recta . Cómo se puede observar en la gráfica siguiente los segmentos de recta de colores rojo y verde son distancias del punto a la recta pero no representan la distancia más corta que existe entre el punto y la recta . Cómo se puede observar en la gráfica la distancia más corta está representada por el segmento de recta de color azul .

Para hallar la distancia de un punto a una recta lo primero que hacemos es hallar el seno de ángulo θ tanto para el triángulo ABC como para el triángulo ABD , como se puede observar en la gráfica el seno de θ para ambos triángulos es el mismo por lo que aprovecharemos esto para relacionar la distancia a un punto con las demás distancias que se muestran en la gráfica correspondiente a la parte (b) .

Entonces a partir de la gráfica anterior obtenemos los senos del θ para el triángulo ABC y el triángulo ABD .

Ahora relacionaremos las dos expresiones para los senos de los dos triángulos y luego despejaremos la variable meta d .

Ahora procederemos a obtener los puntos en los que el segmento AB intersepta la recta el punto p1(x2,y2) , igual  también encontraremos el punto en dónde el segmento BC intersepta la recta el punto p2(x3,y3) .

Ya hecho el proceso anterior sustituimo los datos y luegos procedemos a simplicar hasta obtener una expresión simple por medio de la cuál podamos obtener la distancia de un punto p(x1,y1una recta  . Advertimos que la parte más tediosa es la de simplificar las expresiones algebraicas .





Como se pudo ver en la dedución la distancia de un punto a una recta en el plano xy es .



Dedución 2
Vamos ahora a trabajar con otra técnica o manera diferente de obtener la distancia de un punto a una recta , la diferencia con la técnica 1 es que esta mucho más fácil .
Para empezar nuestra dedución nos auxiliaremos de la gráfica siguiente .
Como se puede observar en la gráfica tenemos una línea verde recta que representa la ecuación Ax+By+C=0 , y hemo trazado varios segmentos de rectas para formar el triángulo rectángulo ABC . Para empezar nuestra dedución tomamos la ecuación general para una línea recta Ax+By+C=0 , y despejamos la variable (y) , en dónde la ecuación resultante nos quedará así y=mx+b  , conocida como recta punto pendiente , luego tomamos la definición de pendiente de geometría analítica que establece que la pendiente es igual a la tangente del ángulo que en este caso es θ .

Como se puede observar en la gráfica de arriba, como la tangente de ángulo θ es negativa eso significa que el ángulo está en el tercer o cuarto cuadrante del plano cartesiano xy , por tanto podemos tomar la función trigonométrica seno de esta figura y relacionarla con la función seno de la primera figura correspondiente a la técnica 2 y despejamos la distancia d que representa la distancia de un punto a una recta .

Ahora procedemos a sustituir los valores encontrado en la fórmula
que nos permitirá calcular la distancia (d) de un punto a una recta Ax+By+C=0 .

Entonces de la simplificación anterior tenemos que la distancia (d) de un punto en el plano xy a una recta Ax+By+C=0 es :



Dedución 3
En esta de vamos a usar el analisis de la pendiente de una recta para determinar la distancia de (d) de un punto a una recta Ax+By+C=0 , también usaremos el análisis que establece que la pendiente de una recta perpendicular a otra recta es igual al reciproco opuesto de la recta en cuestión en lo que concierne a nuestro caso es la recta Ax+By+C=0 , luego de hallar la pendiente de la recta perpendicular a Ax+By+C=0 , procedemos ha encontrar la ecuación de esta recta perpendicular a Ax+By+C=0 utilizando la expresión que se conoce como punto pendiente de una recta . Para empezar nuestra deducción nos guiaremos de la siguiente gráfica .

Primero procedemos a encontrar la ecuación de la recta perpendicular a la recta Ax+By+C=0 .


Una vez obtenida la ecuación perpendicular a la recta Ax+By+C=0 ,procedemos a formar un sistema de ecuación en dónde vamos a buscar el punto de intersección de la recta Ax+By+C=0  y la recta perpendicular (x,y) , para esto vamos a usar el método de reducción o suma y resta .



Como se puede observar en la dedución el punto (x,y) de intersepción de las dos rectas es .


Ahora utilizaremos la fórmula de la distancia entre dos punto en el plano xy para hallar la distancia del segmento de recta AB que es la distancia (d) .


Como se puede observar de la simplificación de la expresión anterior nos queda el resultado esperado para la distancia (d) de un punto a una recta Ax+By+C=0 es .

deduccion de la distancia de un punto