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miércoles, 19 de noviembre de 2014

Números complejos en forma polar y trigonométrica

1.1-Números complejos en forma polar y trigonométrica
1.2-Números complejos en forma polar
1.3-Números complejos en forma trigonométrica
1.4-Operaciones de números complejos en forma polar
1.5-Operaciones de números complejos en forma trigonométrica

Números complejos en forma polar y trigonométrica
Los números complejos se pueden expresar en formas variadas , dentro de estas formas se encuentran la forma polar y la forma trigonométrica de un número complejo expresado en forma aritmética o binomial .

Números complejos en forma polar
Para expresar un número complejo en forma polar procedemos a encontrar el módulo del número complejo , también procedemos a encontrar el ángulo que el número complejo forma con el eje x positivo , simbolicamente esto se expresa así .

Entonces el número complejo (a + bi) expresado en forma polar es :


Números complejos en forma trigonométrica
Para expresar un número complejo en forma trigonométrica se hace necesario conocer tanto el módulo de el número complejo como el ángulo o argumento que el módulo forma con el eje x positivo , luego se procede relacionar la parte real como la parte imaginaria de el número complejo con la función coseno y seno de un ángulo tal como se muestra a continuación .

A partir de la gráfica anterior se deduce que un número complejo expresado en forma trigonométrica se expresa matemáticamente 
así .
(a + bi)=r[cos(θ)] + r[isin(θ)]=r[cos(θ) + isin(θ)]



Ejemplo
Expresar el número complejo (1 + i) en forma polar y trignométrica.
Solución :
Procedemos a encontrar el módulo de el número complejo , también procedemos a encontrar el ángulo o argumento que este forma con el eje x positivo tal como se muestra en la siguiente gráfica .

Entonces el número complejo expresado en forma polar es :

Para expresar el mismo número complejo en forma trigonométrica simplemente tomamos el módulo y el ángulo y lo sustituimos en la fórmula
r[cos(θ) + isin(θ)] .

Para saber más acerca de un número complejo expresado en forma polar y trigonométrica pique aquí

Operaciones de números complejos en forma polar
Producto de dos números complejos en forma polar

El producto de dos números complejos expresados en forma polar es igual a otro número complejo expresado en forma polar en dónde el módulo es igual al producto de los modulos de ambos complejos y el argumento o ángulo es la suma de los ángulos o argumentos de dichos complejos matemáticamente esto se expresa así .

En dónde r y p son los módulos y los argumentos o ángulos son θ y Ǿ .
División de dos números complejos en forma polar

La división de dos números complejos en forma polar es igual a otro número complejo en forma polar cuyo módulo es igual al cociente de los módulos de los números complejos en cuuestión y un argumento igual al argumento del complejo del dividendo menos el argumento del número complejo divisor matemáticamente esto se expresa así .

En dónde r y p son los módulos de los números complejos expresados en forma polar y  (θ, Ǿ) son los argumentos .
Potencia de un número complejo expresado en forma polar

Para elevar un número complejo en forma polar a una potencia entera y positiva elevamos el módulo a la potencia dada y el argumento es igual al exponente multiplicado por el argumento del número complejo esto se expresa matemáticamente de la siguiente manera .


Operaciones de números complejos en forma trigonométrica
Multiplicación de dos números complejos en forma trigonométrica
Para multiplicar dos números complejos en forma trigonométrica procedemos a multiplicar cada complejo como si fuera una multiplicación de dos binomio ejemplo .

División de dos números complejos en forma trigonométrica

Para dividir dos números complejos en forma trigonométrica procedemos a multiplicar tanto el complejo numerador como denominador por el conjugado de el número complejo del denominador ejemplo .