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lunes, 10 de noviembre de 2014

Números complejos






Historia
El nombre del conjunto de los números complejos fué designado por Carlos Federico Gauss(1777-1855) , y los representó en los ejes cartesianos . Aunque previamente el matemático T.R.Argand(1768-1822) lo había representado en un sistema de coordenadas polares .
Quién desarrolló la teoría más amplia de los números complejos fue el matemático Hamilton , en 1853 ,este desarrollo lo basó en el concepto de par ordenado .
El nombre de números imaginario fue usado  por primera vez  por dos matemáticos Gottfried W.Leiibniz(1646-1776)  y Renato Descartes(1596-1650) .

Números imaginarios .
Un número imaginario es un número real b acompañado de la unidad imaginaria (i) , bi .
Los números imaginarios surgen de la necesidad de extraerle la raíz a un número negativo .Matemáticamente la unidad imaginaria se define así .



Ejemplo:





Número Complejo.
Un número complejo es aquel que está formado por una parte real y otra imaginaria .La expresión matemática a + bi es un número complejo , en dónde a y b son numeros reales y bi la parte imaginaria.

Formas de expresar un número complejo .
Hay varias formas de representar un número complejo , la forma canónica o par ordenado , la forma polar , la forma trigonométrica y la forma binomial .
Ejemplo el número complejo a + bi expresado en forma de par ordenado es (a,b) .
Un número complejo expresado en forma polar es (r,θ) , dónde r es la magnitud o módulo del número complejo a + bi , y θ es el ángulo que forma con el eje coordenado x .
El número complejo expresado en forma trigonométrica es r[cos(θ)+isen(θ)] , dónde r es la magnitud o módulo de el número complejo a + bi , y θ es el ángulo que forma este módulo con el eje coordenado x .
Por ultimo  un número complejo expresado en forma binomial es a+bi , dónde a y b son dos números reales e i representa la unidad imaginaria .

Complejos iguales.
Dos números complejos son iguales si todo los coefieciente de la parte real son iguales , y todo los coeficiente de la parte imaginaria son iguales es  decir si (a,b) y (c,d) son dos números complejos son iguales si a = c , b = d .

Complejo real puro.
Es aquel número complejo en el cual la componente imaginaria es cero a + 0i . También se puede expresar así (a,0) .
Ejemplos 
 4 + 0i = (4,0)          -7 + 0i = (-7,0)

Complejo imaginario puro.
Es aquel número complejo cuya componente real es cero 0 + bi . También se puede expresar así (0,b) .
Ejemplos
0 + 7i = (0,7)            0 - 13i = (0,-13)



Representación de números complejos.
Para representar un número complejo en el plano coordenado , graficamos la parte real en el eje x y la parte imaginaria en el eje y . Este plano también se conoce como plano gaussiano en honor a el matemático Carlos F. Gauss .
Ejemplo 
Represntar en el plano gaussiano los números complejos .
3 + 10i
-2 + 10i










Complejos opuestos. 
Son aquellos números complejos en dónde las componentes correspondientes a la parte real y las componentes correspondientes a la parte imaginaria tienen signo opuestos o diferentes 
Ejemplo
3 + 10i el opuesto es -3 - 10i



Complejos conjugados.
Son aquellos en dónde la única diferiencia es el signo de la segunda componente imaginaria , es decir estas componentes tienen los signos opuetos .
Ejemplo
3 + 10i el conjugado es 
3 - 10i 


Redución de una potencia compleja
Para reducir una potencia compleja a un nivel de los más simples como potencia imaginaria debemos tener en cuenta la definición de la unidad imaginaria i , que por definición es :



Partiendo de la definición de la unidad imaginaria i podemos obtener las potencias básicas de una unidad imaginaria i que son .







Ahora bien para simplificar una potencia de una unidad imaginaria i mayor que cuatro procedemos a factorizar la potencia de la unidad imaginaria i ejemplo .


También podemos simplificar una potencia de una unidad imaginaria dividiendo el exponente entre cuatro , luego procedemos a tomar el residuo de la división como el nuevo exponente de la unidad imaginaria i . Tomamos de el ejemplo anterior el exponente de la unidad imaginaria i que es 20 y procedemos a dividirlo entre 4 .





Una vez hecha la división el nuevo exponente de la unidad imaginaria es el residuo que en este caso es cero .



Para saber más acerca de como reducir un potencia de una unidad imaginaria cuyo expoenente es mayor que cuatro haga click en este enlace para ver un video (potencia imaginaria) .

Operaciones con números complejos

Adición de dos números complejos
El sumar dos números complejos es similar a sumar dos expresiones algebraicas , lo que hacemos es sumar la parte real del número complejo luego sumamos la parte imaginaria del número complejo .
Ejemplo:
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
(2+4i) + (7+8i) =(2+7) + (4+8)i=9 + 12i



Suma de dos números complejos conjugados
La suma de dos número complejos conjugados es otro número que cuenta solo con una parte real .
Ejemplo
(3+5i) + (4 - 5i)=(3+4)+(5-5)i=7+0i=7

Suma de dos números complejos opuestos
La suma de dos números complejos opuestos dá como resultado un número complejo en dónde tanto la parte real como la parte imaginaria son igual a cero .
Ejemplo
(10+21i) + (-10-21i) =(10-10)+(21-21)i=0+0i=0

Resta de dos números complejos
Para restar dos números complejos procedemos a cambiarle los signos al sustraendo y luego de cambiado los signos lo sumamos al número complejo que representa el minuendo .
Ejemplo
(a+bi)-(c+di)=(a+bi)+(-c-di)=(a-c)+(b-d)i
(4+5i)-(2+3i)=(4+5i)+(-2-3i)=(4-2)+(5-3)i=2+2i 

Multiplicación de dos números complejos
El proceso de multiplicar dos números complejos es parecido al proceso de multiplicar dos binomios   lo único que debemos sustituir es la i elevada al cuadrado por negativo 1.









Ejemplo













División de dos números complejos
Para dividir dos números complejos debemos utilizar una técnica matemática que consiste en multiplicar el número complejo que corresponde al numerador y el número complejo que corresponde al denominador por el conjugado del número complejo que corresponde al denominador .












Ejemplo












Para saber más acerca de la división de dos números complejos haga click en (División de complejos) .


Resolución de ejercicios

Aquí les dejo esta pequeña aplicación que les pertimitirá comprobar si sus resultados son correctos en lo que se refiere a sumar , restar , multiplicar y dividir dos números complejos . Para usar esta aplicación borre los ceros de las diferentes casillas de texto y luego introduzca los coeficientes de los números complejos que usted prefiera y luego presione el boton que dice "Solución" para obtener el resultado de la operación correspondiente en las casillas que tienen el signo de interrogación "?".


i ) +(  i ) 

= (  i )





i ) - (  i )

 = (  i )





+ i ) x (  i ) 

= (  i )





 (  i ) 
---------------------- = (   i )
 (  i )