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miércoles, 11 de febrero de 2015

Movimiento de proyectiles

Un proyectil es un cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue una trayectoria determinada influenciada de manera total por los efectos de la aceleración gravitacional y la resistencia del aire .
Ejemplos de proyectiles son un paquete lanzado de un edificio , una bola de baseball bateada , una bola lanzada por un pitcher , una bala disparada por una escopeta entre otros ejemplos . 



Trayectoria : es el camino que sigue un proyectil .
A la hora de indagar este tipo de movimiento tan cotidiano nos auxiliaremos de un modelo idealista que representa el proyectil como una partícula con aceleración constante en magnitud y dirección . En este modelo debemos obviar los efectos de la curvatura de la tierra y su rotación , ademas ignoraremos los efectos del aire . Aunque debemos decir que la curvatura de la tierra debe tomarse en consideración cuándo se trata de objectos que tienen un largo alcance , así como también los efectos de la resistencia del aire son una parte muy importante en lo que al vuelo de un paracaida se refiere .
Aunque hablamos de un movimiento idealizado este nos dá una gran mirada al comportamiento de un objecto que tiene un movimiento de proyectil .
Por la particularidad de que la aceleración de la gravedad es exclusivamente vertical , por tanto el movimiento de un proyectil está limitado a un plano vertical que está determinado por la dirección de velocidad inicial tal como se puede observar en la gráfica de la figura  izquierda esto demuestra que la gravedad no afecta el movimiento lateral que pueda tener una partícula en el momento en que inicia su movimiento de caída libre .Por tanto como se puede observar este movimiento es bidimensional , en dónde podemos llamar el plano en que se ejecuta el movimiento como  plano xy , en dónde el eje x es horizontal y el eje y es vertical .

Una de la ventaja de tratar el movimiento de un proyectil es que podemos tratar las componentes x e y del movimiento  de manera separada , como la aceleración de la gravedad es exclusimente vertical esta no afecta el movimiento horizontal de una partícula en movimiento , por tanto la aceleración de esta partícula en el eje x es nula o igual a cero , de manera que la componente de la aceleración es constante e igual a [-g] , aunque el signo negativo de la aceleración puede cambiar dependiendo de la coordenadas que escojamos .
Entonces de lo ante expuesto el movimiento de un proyectil es una combinación del movimiento horizontal con velocidad constante y movimiento vertical con aceleración constante  .
Como se puede ver en la gráfica izquierda dos proyectiles que tienen diferentes movimientos respecto a el eje x , y igual movimiento respecto a el eje y , uno de los proyectiles parte del reposo y el otro está proyectado horizontalmente , una particularidad de este movimiento es que ambos proyectiles caen distancias iguales en tiempos iguales . 
El movimiento de proyectil está representado por dos movimientos que se suprponen el movimiento horizontal y el movimiento vertical  por la aceleraciones respecto a el eje x y el eje y son :


 movimiento de proyectil sin resistencia de aire


Como las aceleraciones tanto en el eje x como en el eje y son constante utilizaremos las relaciones matemáticas para analizar el movimiento de un proyectil en dos dimensiones que utilizamos en el tema [movimiento en línea recta] haciendole algunos ligeros cambios a las fómula del movimiento representado en el eje x y a las fórmulas utilizadas en el eje y .
Por tanto tenemos que las relaciones matemáticas para el movimiento del proyectil en el eje x :

Para el movimiento en el eje y las relaciones matemáticas son :

Como la velocidad inicial en el movimiento del proyectil es un vector tenemos que la velocidad se representa en término de las componentes x e y .

Si el proyectil parte del punto X0=Y0=0 el movimiento de proyectil haciendo las sustituciones correspondientes  es.

Estas relaciones matemáticas describen la posición y velocidad del proyectil tal como se muestra en la siguiente figura .

Como se puede ver en la gráfica se puede obtener multiples informaciones , como es la distancia de el proyectil al origen de coordenadas y esta distancia representa la magnitud del vector posición r . Tal como analizamos en el tema (Vectores) la magnitud del vector posición se representa así .

También la magnitud de la velocidad o la rapidez es .

Entonces la dirección de la velocidad en términos del ángulo θ que forma con el eje x positivo es .

Como se pudo observar en la figura de más arriba la velocidad es tangente a cualquier punto de la trayectoria del movimiento de un proyectil .
Con ayuda de expresiones o fórmulas matemáticas expuestas en este post más arriba se puede deducir una expresión que describa la trayectoria del proyectil en términos de x e y eliminando el parámetro de del tiempo t . Tomando como punto de partida de la trayectoria del proyectil  x0=y0=0 , tenemos que el tiempo es 
t=x/(vcos θ) y entonces tenemos que :

Ejemplo :
Un bola es lanzada horizontalmente desde el borde de la azotea de un edificio que tiene una altura 15m con una rapidez inicial de 10m/s . ¿Cuál es la posición , distancia del borde y velocidad de la pelota después de 0.7seg ?
Solución:
¿Dónde está la pelota en t = 0.7seg ?

Como se puede ver la componente y de la posición es negativa lo que puede interpretarse como que la bola está debajo de su punto inicial .
¿A qué distancia está del borde del edificio la pelota ?

¿Qué velocidad tiene la bola en t = 0.7seg ?
primero determinamos las componentes x e y de la velocidad .

La bola tiene la misma velocidad horizontal en el eje x , que cuando la bola parte de t = 0seg , pero la bola ha adquirido una velocidad vertical en la dirección del eje y negativo . Usando vectores unitarios la velocidad en t = 0.7 seg es :

Podemos expresar la velocidad en términos de magnitud y dirección como :

Entonces el ángulo del vector velocidad es :

El signo negativo del ángulo nos indica que la velocidad está dirigida 34.45º debajo de la horizontal

Nota : Vuestra opinión y sugerencias las tomamos muy seriamente , si este post te ha servido dejanos tus comentarios y sugerencias .