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domingo, 31 de mayo de 2015

Logaritmo y sus propiedades

Logaritmo
El logaritmo de un número z, real y positivo en una base c se define como el exponente s al cual debemos elevar la base c para conseguir el número z.

logc z = s      donde c≠ 1    y    c= z

Veamos algunos ejemplos de el logaritmo de un número
1) log2 8 = z
         2z = 8
          z = 3
2) log3 81 = z
          3z = 81
            z = 4
3) log4 256 = z
          4z = 256
            z = 4

Propiedades de los logaritmos 

1) El logaritmo de la unidad es igual a cero

logc 1 = 0  → c0 = 1

2) El logaritmo de la base es igual a uno

logc  c = 1 →  c1 = c

3) El logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de sus factores.

Veamos la demostración
Si tenemos  que 

a) cm = R → b) logc R = m       c) cn = H → d) logc H = n

Ahora procedemos a multiplicar ambos miembros de la expresión a) y c)

cm · cn = RH

d) cm + n = RH →  logc RH = m + n

Ahora sustituimos  los valores de m y n de las expresiones b) y d) en d), quedándonos entonces

logc RH = logc R + logc H

4) El logaritmo de la división de dos números no negativos es igual al logaritmo de dividendo menos el logaritmo del divisor.

Tomando como parámetro la demostración anterior procedamos a dividir a) y c)

Sustituyendo m y n de b) y d) se obtiene

logc (R/H) =logc R - logc H

5) El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base

Si  a) c m = R  →  b)  logc R = m

Si elevamos ambos miembros de la expresión a) tendremos que :

(cmk) = Rk

c) cmk = R→  logc Rk = mk

Ahora sustituimos m de b) en c para tener

logc Rk = k logc R

6) El logaritmo de una expresión raadical es igual a el logaritmo de la cantidad subradical dividida por el índice de la raíz.

De la demostración anterior del logaritmo de una potencia, si tomamos k como un exponente fracionario tal que k = (1/n)
entonces 

logc R(1/n) = (1/n) logc R

como

Entonces el logaritmo de una expresión radical es.

Ejemplos de aplicación de las propiedades de los logaritmos

Vea tambien
Funciones logarítmicas
Funciones exponenciales

sábado, 30 de mayo de 2015

Funciones logarítmica

Funciones logarítmicas

Una función logarítmica es aquella que está modelada como 
f(x) = loga h(x), donde a es una cantidad real y positiva diferente de 0 y 1.

Ejemplos de funciones logarítmicas

1) y =z·log a

2) y = ln x

3) y = log x

4) y = log2(x3 + 1)

Gráfica de una función logarítmica

En el caso de la gráfica una función logarítmica si no contamos con una calculadora eléctronica o un programa de computos que permita calcular el logarítmo de un número entonces debemos expresar esta función logarítmica en su forma exponencial de manera que podamos realizar más fácil los cáculos.
A la hora de hacer una gráfica de una función logrítmica se deben considerar dos casos, el primero donde a > 1, y el segundo caso donde 0 < a < 1

Análisis de la gráfica para el caso a > 1

Ejemplo
f(x) = y = logx
expresada en forma exponencial es x = 2y 
ahora si procedemos a graficar


Análisis de la gráfica para el caso 0 < a < 1

Utilicemos de ejemplo y = log(1/2)  x
Ahora procedemos a expresar esta función logarítmica en forma exponencial o inversa es decir.
x = (1/2)x
Ahora procedemos  tomar una pequeña muestra de datos arbitrarios para la variable (y) y de esta manera obtener los valores de x.


Propiedades de una función logarítmica

1) La función logarítmica solo está definida para valores positivos de x, esto siginfica que la gráfica solo existe a la derecha del eje y por lo que esto implica que los números negativos no tienen logarítmo.

2) Se puede observar en la gráfica de más arriba que el logarítmo de
x = 1 es igual a cero, sin importar el valor de la base.

3) El logarítmo de la base es igual en cualquier caso a 1
[loga a = 1]

4) La función logarítmica es creciente para a > 1, y decreciente
para 0 < a < 1.

5) El eje y es una asíntata  vertical cuando a  > 1, debajo del eje x.
El eje y es una asíntata vertical cunado 0 < a < 1, encima del eje y.

7) Cuando > 1,si  x tiende a infinito (y) tiende a infinito, cuando x tiende a cero (y) tiende a infinito negativo.
Cunado 0 < a < 1,si x tiende a infinito, (y) tiende a infinito negativo,cuando x tiende o se aproxima a cero entonces (y) tiende a infinito positivo.

Todas y cada una de estas propiedades se pueden observar en una gráfica que muestre los casos donde  > 1 y 0 < a < 1 juntos.

viernes, 29 de mayo de 2015

Funciones exponenciales

Funciones exponenciales

Una función exponencial es aquella que está modelada por 
f(x) = ah(x) donde a > 0 y diferente de la unidad h(x) una función en x.
Veamos algunos ejemplos de funciones exponenciales 

* y = Ae-kt      * y = 2x 

* y = (1/2)x     * f(t) = 2e2t

Gráfica de una función exponencial
A la hora de hacer una grafica de una función exponencial se deben tomar en cuenta dos casos, el primero donde a > 1, y un segundo caso donde 0 < a < 1.
Esto significa que la función exponecial se transforma en una función constante si a = 1, es decir y = 1x = 1.

Análisis de la gráfica para el caso a > 1
Ejemplo tomemos f(x) = y = 2x
La función f(x) está definida para cualquier valor real de la variable x.Primero tomamos una pequeña muestra de valores para x y de esta manera obtener f(x) en función de x para esto construiremos una pequeña tabla que muestre estos valores.


Análisis de la gráfica del caso 0 < a < 1

Usemos de ejemplo f(x) = y = (1/2)x
La función f(x) está definida para cualquier valor real de la variable x.Primero tomamos una pequeña muestra de valores para x y de esta manera obtener f(x) en función de x para esto construiremos una pequeña tabla que muestre estos valores.


Propiedades de una función exponencial

1) El dominio de imágenes o función exponencial es siempre positiva, y siempre esta funcion se encuentra encima del eje x

2) El codominio de la función exponencial está compuesto por todos los números reales positivos y el dominio por todos los números reales

3) La grafica que representa una función exponencial nunca hace intersepción con el eje x .Sólo existe una intersepción con el eje y, en el punto (0 , 1).

4) Si a > 1 la función exponencial es creciente. Si 0 < a < 1 la función exponencial es decreciente

5) Para a > 1, el eje x se convierte en una asíntota horizontal de la gráfica por la izquierda, si 0 < a < 1 el eje x es asíntota horizontal por la derecha

6) Para a > 1 cunado x tiende a infinito por la izquierda, y = f(x) tiende a cero.Cuando x tiende a infinito por la derecha, y = f(x) tiende a infinito.
Para 0 < a < 1 cunado x tiende a infinito por la derecha, y = f(x) tiende a cero.Cuando x tiende a infinito por la izquierda, y = f(x) tiende a infinito.

Todas estas propiedades se pueden observar claramente en una gráfica que muestre los dos casos juntos.

jueves, 28 de mayo de 2015

Variación lineal

En este post vamos a abordar la variación lineal con todo los detalles
¿Cuándo una relacion entre dos variables es una variación lineal?

Dos variables están relacionadas por una variación lineal si su gráfica es una línea recta que no parte del punto (0 , 0) , es decir el punto de partida de una relación que es una variacion lineal es el punto (0 , b).
Si (y) es la variable dependiente y (x) la variable independiente entonces (y) y (x) están relacionadas con una variación lineal si se cumple que 
y = mx + b dónde m representa la constante de variación lineal que en geometría análitica es conocida como la pendiente de la recta y (b) representa la ordenada desde la que parte la recta.
Debemos decir que como la variación lineal es graficamente una línea recta la constante m se calcula con una fórmula similar a esta :

Donde P1(y1,x1) representa un punto de los datos y P2(y2,x2) representa otro punto de los datos que se analizan.
En el magnifico escenario de la ciencia física existen variados ejemplos que aplican el concepto de la variación lineal como es la velocidad final de un objecto en función del tiempo que tiene una aceleración constante cuando este objecto parte desde un punto con una velocidad inicial diferente de cero (v0) .

Donde la constante  m = a y b = v0
Otro ejemplo es cuándo un resorte se pone en posición vertical y se le aplica un estiramiento, la fuerza neta que actúa sobre el resorte es la suma de la fuerza restauradora del resorte y el peso de un objeto de masa m conectado a el resorte.

La constante m = -k  y la constante b = mg

Gráfica de una relación que representa una variación lineal
La gráfica que representa una variación lineal es una línea recta que parte del punto ( 0 , b)

Ejemplos
I) Dados los datos de la tabla halle.
a) La constante m y la constante b
b) La ecuación matemática de estos datos
c) La gráfica
v(m/s)
1m/s
3m/s
5m/s
7m/s
t(s)
0s
1s
2s
3s

a) Para investigar cuál es la constante m aplicamos la fórmula que se utiliza para obtener la pendiente de una recta y sustituimos dos puntos cualesquiera de la tabla de datos en la fórmula.

La constante m es igual a 2m/s2
La constante b es muy fácil de averiguar ya que (b) es el valor cuando la variable independiente (t) es cero entonces la constante b es 1m/s

b) Después que conocemos la constante m y la constante b es bien sencillo obtener la ecuación matemática sustituyendo esos valores en la fórmula modelo de una variación lineal y = mx + b
si sustituimos (y) por (v) y (x) por (t) m por 2m/s2 y b por 1m/s
la ecuación matemática será.
v = (2m/s2)·t + (1m/s)

c) La gráfica es entonces 


II) Dados los datos de la tabla halle.
a) La constante m y la constante b
b) La ecuación matemática de estos datos
c) La gráfica
F(N)6N4N2N0N
x(m)0m1m2m3m
a) Una vez más para investigar cuál es la constante m aplicamos la fórmula que se utiliza para obtener la pendiente de una recta y sustituimos dos puntos cualesquiera de la tabla de datos en la fórmula.

La constante m es igua a -2N/m
La constante b es muy fácil de averiguar ya que (b) es el valor cuando la variable independiente (x) es cero entonces la constante b es 6N

b) Después que conocemos la constante m y la constante b es muy fácil obtener la ecuación matemática sustituyendo esos valores en la fórmula modelo de una variación lineal y = mx + b
si sustituimos (y) por (F) y  m por -2N/m y b por 6N
la ecuación matemática será.
F = (-2N/m)·x + (6N)

c) La gráfica es

Vea tambien
Proporcionalidad directa
Proporcionalidad inversa
Proporcionalidad directa con el cuadrado

miércoles, 27 de mayo de 2015

Proporcionalidad directa con el cuadrado


En este articulo vamos a tratar de desglosar lo que es la proporcionalidad directa con el cuadrado.

¿Cuándo una relación es una proporcionalidad directa con el cuadrado?

Dos variables están relacionadas por una proporcionalidad directa con el cuadrado cuando la razón que existe entre la variable dependiente y la variable independiente elevada al cuadrado es siempre constante. 

Ejemplo si (y) es la variable dependiente y (x) es la variable independiente  entonces, (y/x2) = k se dice que entre (y) y 
(x) existe una proporcinalidad directa con el cuadrado.

Como en otros casos la constante k es la que representa la constante de proporcionalidad directa con el cuadrado.

En el mundo de la física existen variadas ecuaciones o fórmula que utilizan este concepto de la proporcionalidad directa con el cuadrado perfectamente, entre estas vamos a hablar de algunas.
Ejemplo para calcular la energía cinética K de un cuerpo de masa m que se desplza a una velocidad (v), la variable (K) y la variable 
(v) tienen una relación de proporcionalidad directa con el cuadrado.

Donde la constante de proporcionalidad directa con el cuadrado es:


Otra fórmula que se utiliza mucho en los cáculos físicos es la energía potencial elástica (U) de un resorte que se comprime o se estira hasta una distancia (x) especifica, donde la variable dependiente (U)
y la variable independiente están relacionadas con una proporcionalidad directa con el cuadrado.

Aquí la constante de proporcionalidad directa con el cuadrado es:



Otra fórmula bien usada es la que establece que la potencia elétrica 
disipada (P) en función de la corriente eléctrica (I) que fluye por un

segmento de un alambre eléctrico, en donde la potencia eléctrica 

(P) es directamente proporcional con el cuadrado de (I).

Bueno y la constante de proporcionalidad directa con el cuadrado es :
k = R

Gráfica de una relación que representa una proporcionalidad directa con el cuadrado
La gráfica de esta relación de proporcionalidad directa con el cuadrado es una rama de una parábola.

Ejemplos 
1- Dado los datos de la siguiente tabla encuentre
a) Constante de proporcionalidad
b) La ecuación matemática
c) La gráfica
I
0A
1A
2A
P
0w
2w
8w

a) Para conocer la constante de proporcionalidad directa con el cuadrado procedemos a dividir la variable dependiente (P) entre el cuadrado de la variable independiente (I), si el resultado de aplicar esta operación a todas las columnas a exepción de la columna donde (P) e (I) son iguales a ceros es constante entonces sabemos que los datos de la tabla están relacionados por una proporcionalidad directa con el cuadrado.

La constante de proporcionalidad k = 2Ω

b) Ya conocemos la constante es fácil ahora obtener la ecuación matemática que relaciona estos datos .

c) Ahora tomamos simplemente los datos de la tabla y procedemos a hacer la gráfica

2- Dado los datos de la siguiente tabla encuentre
a) Constante de proporcionalidad
b) La ecuación matemática
c) La gráfica
v(m/s)0m/s1m/s2m/s
K(J)0J0.5J2J
a) Para conocer la constante de proporcionalidad directa con el cuadrado procedemos a dividir la variable dependiente (K) entre el cuadrado de la variable independiente (v), si el resultado de aplicar esta operación a todas las columnas a exepción de la columna donde (K) y (v) son iguales a ceros es constante entonces sabemos que los datos de la tabla están relacionados por una proporcionalidad directa con el cuadrado.

La constante de proporcionalidad directa con el cuadrado es 
k = 0.5 kg

b) Ya conocemos la constante ahora de manera sencilla vamos a obtener la ecuación matemática que relaciona estos datos.

c) Ahora tomamos los datos de la tabla y procedemos a hacer la gráfica

Vea tambien
Proporcionalidad directa
Proporcionalidad inversa
Variación lineal

martes, 26 de mayo de 2015

Proporcionalidad inversa

En este post vamos a ver exactamente lo que es la proporcionalidad inversa.
¿Cuándo dos variables son inversamente proporcionales o tienen una proporcionalidad inversa?

Dos variables una dependiente y otra independiente son inversamente proporcionales o tienen una proporcionalidad inversa si el reultado de multiplicar la variable dependiente y la variable independiente es siempre constante, si esto se cumple entonces la variable dependiente e independiente tienen una relación de proporcionalidad inversa o son inversamente proporcionales.

Ejemplo sea (y) una variable dependiente de una variable (x)
si (y · x) = k entonces (y) y (x) son inversamente proporcionales.

En este caso la constante k representa la constante de proporcionalidad inversa que existe entre las dos variables.


En el campo de la física hay muchos ejemplos de como importantes fórmulas enuncian de manera ejemplificante el concepto de lo que es una proporcionalidad inversa, de estas fórmulas u ecuaciones matemáticas citaremos algunas.
Ejemplo para calcular el potencial eléctrico (v) que genera una carga en funcíon de una distancia (r) , la variable (v) y la variable (r) tienen una relación de proporcionalidad inversa.

En donde la constante de proporcionalidad inversa es:

Otro ejemplo de fórmula que utiliza el concepto de lo que es una proporcionalidad inversa es la fórmula que se utiliza para calcular la energía potencial gravitatoria cuándo la distancia entre las masas es demasiado grande para considerar la aceleración de gravedad constante e igual g = 9.8m/s

En donde la constante de proporcionalidad inversa es 
k = -GMm

Otro ejemplo es la energía potencial eléctrica que se genera cuando una carga se mueve con respecto a otra carga puntual, esta fórmula tiene una relación de proporcionalidad inversa.

En donde la constante de proporcionalidad inversa es:


Gráfica de una relación que representa una proporcionalidad ineversa
La gráfica que representa una variación de proporcionalidad inversa es una rama de una hipérbola.

Ejemplos
I) Dados los datos de la tabla
a) Hallar la constante de proporcionalidad inversa
b) La ecuación matemática
c) Hacer la gráfica

F
8
4
2
1
T
1
2
4
8

a) Para conocer la constante de proporcionalidad inversa procedemos a multiplicar la variable dependiente (F) y la independiente (T) si el resultado de multiplicar cada uno de los datos de las columnas  es constante entonces sabemos que entre (F) y (T) existe una proporcionalidad inversa.
Como se puede ver la constante de proporcionalidad inversa es 
k = 8

b) Ya conocemos  la constante de proporcionalidad inversa, ahora procedemos a encontrar la ecuación matemática que dá lugar a estos datos de la tabla que es.
C) Ya obtenida la constante y la ecuación matemática vamos a construir la gráfica.
II) Dados los datos de la tabla
a) Hallar la constante de proporcionalidad inversa
b) La ecuación matemática
c) Hacer la gráfica

v(m/s)
6m/s
3m/s
2m/s
1m/s
t(s)
1s
2s
3s
6s
a) Para averiguar cuál es la constante de proporcionalidad inversa procedemos a multiplicar la variable dependiente (v) y la independiente (t) si el resultado de multiplicar cada uno de los datos de las columnas  es constante entonces sabemos que entre (v) y (t) existe una proporcionalidad inversa.

Entonces la constante de proporcionalidad inversa es k = 6m

b) Ya encontramos  la constante de proporcionalidad inversa, ahora vamos a encontrar la ecuación matemática que genera estos datos de la tabla que es.

C) Ya obtubimos la constante y la ecuación matemática vamos a construir la gráfica.

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