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lunes, 18 de mayo de 2015

Funciones

Función
Es una relación donde a cada elemento del conjunto del dominio o conjunto de partida de la relación le corresponde un único elemento del conjunto del dominio de imágenes (codominio) o conjunto de llegada.

Ejemplos:

1)  A = {3,7,9}   y   B = {4,5}

      R1 = {(3,4),(9,5)}    
R1 es una función ya que los elementos del conjunto de partida A que tienen una imágen del conjunto de llegada B  es única.

2)











R1 es una función ya que cada elemento del dominio de la relación que tiene una imágen esta es única.

b)











R2 no es una función por que el elemento 7 del conjunto de partida o dominio de la relación tiene dos imágenes del conjunto de llegada B.
R2 = {(7,2),(7,3),(1,2)}

En la vida diaria hay muchos ejemplos prácticos de lo que es una función por ejemplo en algunas religiones cristianas a un hombre solo se le permite tener una sola mujer.
La nota o calificación que un profesor le otorga a sus estudiantes es única es decir un estudiante solo recibe una calificación.












Notación de función
Para representar la función de una relación de A a B (A→B), se denota como f:A→B , f = {(x,y)/y = f(x)} significando esto que (y) es la imágen de (x) mediante la función f,donde  f : A → B es una función , por lo que y = f(x) donde (x,y) = (x , f(x)) por tanto 
y = f(x) por lo que cuando hablamos de la función f(x) estamos hablando de (y).


Función inversa
Una función inversa para su obtención debemos partir del concepto de función inyectiva, de manera tal que al hacer una inversión de las componentes de los pares ordenados de una función dada, la definición de lo que es una función se mantenga.

Función inyectiva
Esta se verifica si, [x1 ≠ x2ε D → [f(x1)  ≠ f(x2)]
Si una función está expresada en pares ordenados, podemos afirmar que es inyectiva cuando los elementos del conjunto de llegada o segundo conjunto, que son imágenes, lo son una sola vez.














R es una función
R es una función inyectiva ya que las imágenes participan una sola vez

La función inversa resulta de invertir las componentes de los pares ordenados de la función inyectiva dada.
En las funciones que son inversas se verifica que . Sea f una función, si

f = {(a,b) / a ε A y b ε B} su inversa es f -1 = {(b,a) / (a,b) ε f}

La función inversa de la función dada en la figura anterior es entonces :














f = {(3,0),(4,2),(9,8)}  es una función inyectiva y 
f -1 = {(0,3),(2,4),(8,9)} es una función inversa

Función sobreyectiva
Es aquella función en la que todos los elementos del conjunto de llegada o segundo conjunto son imágenes.













Función biyectiva
Es aquella función que es inyectiva y sobreyectiva a la misma vez 













Función constante
Es la función donde cada par ordenado de la función tiene la misma imágen














f = {(a,1),(b,1),(c,1)}