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miércoles, 29 de julio de 2015

Solución de problemas con las leyes de Newton

Problema 1Problema 2Problema 3
Problema 4Problema 5Problema 6

En este post vamos a vislumbrar como resolver diferentes problemas que se dan en la vida diaria y en situaciones ingenieriles en las que el análisis de las leyes de Newton se hace Imprescindible para obtener soluciones favorables a la solución de dichos problemas.

En esta primera parte de este post abordaremos algunos problemas y más tarde estaremos actualizando esta página a petición de cualquier lector que tenga un problema de física para incluir más problemas en donde las soluciones deban ser dadas mediante el uso de las famosas leyes de Newton.

Problema 1
Hallar la tensión en cada cuerda de la figura en función del peso W del ojecto.

Para resolver este problema lo primero que haremos es auxiliarnos de un diagrama de cuerpo libre que nos permita ver todas las fuerzas que actúan sobre el objecto suspendido que lo representaremos como un punto en el origen de coordenadas.

Como el objecto suspendido está en equilibrio usaremos la primera ley de Newton para la sumatorias de las fuerzas en el eje (x) y el eje (y) , y estas sumatorias deben ser igual a cero por lo que descomponemos cada uno de los vectores en sus componentes horizontales y verticales y hacemos esta sumatoria, luego despejaremos las tensiones en las cuerda A, B y C representadas por TA , TB y TC

Ahora pasamos a despejar TA en la ecuación (1) y luego sustituiremos este valor en la ecuación (2) para así encontrar TB.

Ahora sustituiremos el valor de TA en la ecuación (2) para luego despejar el valor de TB.

Ya conocemos la tensión B ahora simplemente sustituimos este valor en el despeje de TA para así conocer su valor en función del peso W.

Por tanto TA = 0.732W, TB = 0.897W y TC = W

Problema 2
Un automóvil se traslada en una pista experimentando una fuerza de fricción de 50N ¿Qué fuerza F debe desarrollar el motor si el auto se traslada a velocidad constante?

Solución:
Primero representaremos el auto como un punto o partícula en una diagrama de cuerpo libre que muestres todas las fuerzas que actúan sobre el automóvil.

El problema habla de que auto se traslada a velocidad constante por lo la primera ley de Newton muestra que si un objecto se traslada a velocidad constantes la sumatorias de las magnitudes de las fuerzas que actúan sobre el objecto es igual a cero, por lo que aplicaremos la primera ley de Newton y pasaremos despejar la variable meta que es la fuerza F que desarrolla el automóvil, tomaremos la magnitud de la fuerza de fricción como negativa y la fuerza desarrollada por el automóvil en la dirección del movimiento como positiva.

Como se puede observar la fuerza que debe desarrollar el motor del automóvil para mantenerlo a velocidad constante es 50N.


Problema 3
Si un peso de 500N cuelga de la parte media de una cuerda (fig 1) y esta forma un ángulo θ con la horizontal, si la tensión máxima que puede soportar esta cuerda sin romperse es 1300N ¿Qué ángulo θ mínimo puede formar la cuerda con la horizontal?

Primero nos auxiliaremos de un diagrama de cuerpo libre que muestre cada una de las fuerzas que actúan para mantener el equilibrio.

Para solucionar este problema vamos a aplicar la primera ley de newton a componentes (x) e (y), luego determinaremos el ángulo mínimo que puede tener la cuerda sin romperse, debemos decir que como el peso está ubicado en la parte media de la cuerda la fuerzas tensoras son de igual magnitud por lo tanto solo usaremos la componente vertical de la primera ley de Newton y de allí despejaremos el ángulo θ.

Ahora procedemos a sustituir la tensión T y el peso W para luego despejar el ángulo θ.


Como se puede ver en la resolución analítica del problema el ángulo mínimo que puede formar la cuerda sin romperse es θ = 11.09º.

Problema 4
¿Qué aceleración experimenta un objecto cuya masa es 20kg cuando es sometido a la acción de una fuerza constante de 200N?

Solución:
Lo primero que debemos identificar es que para resolver este problema deberemos utilizar la segunda ley de Newton que establece que la fuerza es el resultado de multiplicar la masa del objecto por la aceleración.

Pasamos a despejar la variable aceleración (a) y luego sustituimos los datos dados en el problema.

Ya despejada la variable (a) pasamos ahora a sustituir los datos del problema en la fórmula resultante.

Problema 5
Una fuerza de 500N acelera un auto cuya masa es 250kg desde el reposo durante un intervalo de tiempo de 3s ¿Qué velocidad final alcanza el auto?

Solución:
Este problema claramente involucra la segunda ley de Newton
F = m·a, por lo que aplicaremos la segunda ley de Newton para determinar la aceleración que le imparte al auto de 250kg un fuerza de 500N, para esto despejaremos la aceleración (a).

Y ahora sustituimos la fuerza y la masa en la fórmula ya despejada.

Ya sabemos que la aceleración es 2m/s2, ahora con este dato y los demás datos del problema procederemos a encontrar la velocidad final del auto en el intervalo de 3s  y para este propósito nos auxiliaremos de una fórmula que relacione la aceleración, la velocidad inicial, la velocidad final y el tiempo de un objecto o partícula con movimiento rectilíneo uniforme.

La velocidad final del auto es de 6m/s.

Problema 6
Una carga de17kg cuelga de una cuerda que pasa por una polea pequeña sin fricción y tiene un contrapeso de 32kg en el otro extremo (fig 3.) . El sistema se libera desde el reposo.
a) Dibujar un diagrama de cuerpo libre para la carga de 17kg y otro para el contrapeso 32kg.
b) ¿Que magnitud tiene la aceleración hacia arriba tiene el sistema?
c) ¿Qué tensión hay en la cuerda mientras la carga se mueve?

Para dar respuesta a la parte a) del problema dibujaremos un diagrama de cuerpo libre que muestre las fuerzas que actúan sobre la carga de 17kg y el contrapeso de 32kg.

b) Para solucionar la parte b) del problema nos guiaremos de los diagramas de cuerpos libres y tomaremos las fuerzas en la misma dirección en la que se produce este movimiento como positivas, mientras las que están dirigidas en direcciones opuestas como negativas y aplicamos la segunda ley de Newton a cada uno de los cuerpos por separado, para esto hacemos la sumatorias de todas las fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos del diagrama de cuerpo libre y deduciremos una ecuación para la masa de 17kg y otra para la masa de 32kg.


Ahora vamos a resolver estas dos ecuaciones para las variables (a) y (T) para esto vamos a utilizar el método de reducción.


Ya sabemos que la aceleración es 3m/s2 , para obtener la tensión vamos a sustituir el valor de la aceleración en la ecuación y luego despejaremos la variable T.

Y la respuesta a la parte c) del problema es T = 217.6N, como se puede ver la tensión es mayor que el peso de la masa de 17kg cuyo peso es 166.6N y menor que el contrapeso de la masa de 32kg cuyo peso es 313.6N.
Vea también
La primera ley de Newton
La segunda ley de Newton
La tercera ley de Newton

martes, 21 de julio de 2015

Producto escalar de dos vectores

En este post vamos a ver como se deduce matemáticamente el producto escalar de dos vectores también veremos algunos ejemplos de como resolver el producto escalar de dos vectores.

¿Cómo se define el producto escalar de dos vectores?

El producto escalar de dos vectores o producto punto como también se le conoce se define como el producto de la magnitudes de ambos vectores multiplicados por el coseno de ángulo que forman ambos vectores.
Matemáticamente el producto escalar se expresa así:

Para deducir esta fórmula que se utiliza en el cálculo del producto escalar nos guiaremos de la siguiente gráfica.


Para deducir la expresión que nos permite obtener el producto escalar o producto punto usaremos la ley de los cosenos que relaciona el coseno de un ángulo con los tres lados de un triángulo ya que como se puede ver en la figura de más arriba el vector  
y el vector  y el vector que une ambos vectores  estos tres vectores forman un triángulo.

Para empezar simplificaremos el miembro izquierdo de la expresión de la ley de los cosenos aplicando la propiedad del producto escalar que establece que un vector multiplicado consigo mismo es igual a la magnitud del vector elevada al cuadrado.

Ahora procedemos a reescribir el miembro izquierdo de la expresión que representa la ley de los cosenos y simplificaremos mediante las técnicas de despejes para obtener la expresión matemática que representa el producto escalar o producto punto.

Como se puede ver en la demostración el producto escalar de dos vectores es igual al producto de las magnitudes de dichos vectores y estos vectores a su vez multiplicados por el coseno del ángulo formados por ambos vectores, de donde podemos decir que si dos vectores son perpendiculares sus producto escalar es 0 ya que el coseno de 90 es 0, si los dos vectores son paralelos el producto escalar es igual simplemente al producto de las magnitudes de ambos vectores ya que el coseno de 0º es 1, y si los vectores son anti-paralelos u opuestos su producto escalar es el producto de las magnitudes de ambos vectores con el signo negativo , todo esto se muestra matemáticamente a continuación.


Ejemplo 1
Hallar el producto escalar de los siguientes vectores y el ángulo que forman. 

solución:
Lo primero que tenemos que decir es que estos vectores están dados en término de los vectores unitarios i y j , en donde el vector i es un vector unitario porque su magnitud es 1 y está dirigido a lo largo del eje x positivo, y el vector j es un vector unitario ya que también su magnitud es 1 y dirección es el eje y positivo, esto significa que el vector unitario i y j son perpendiculares por tanto su producto escalar es cero y el producto de un vector unitario consigo mismo es igual a uno tal como se muestra a continuación.

Con todo lo anterior en mente vamos a realizar el producto escalar multiplicando los vectores como si fuera el producto de dos polinomios.

<Ya conocemos el producto escalar de los dos vectores para encontrar el ángulo que conforman los dos vectores, primero vamos a encontrar la magnitud de ambos vectores, luego despejaremos el ángulo de la fórmula dada al principio de este artículo para calcular el producto escalar.

Ya conocemos la magnitud de cada vector ahora vamos a usar la fórmula dada para el producto escalar de dos vectores y despejaremos el ángulo.

Ejemplo 2
Una caja de masa m se desliza por acción de la fuerza de gravedad por una pendiente con una inclinación θ desplazándose una distancia x en la pendiente como se muestra en la figura 1.
Hallar el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad.

Solución:
Lo primero que hay que decir es que el trabajo está definido como el producto escalar del vector fuerza y desplazamiento, por lo que lo primero que haremos es hacer un diagrama de cuerpo libre que muestre la dirección de la fuerza de gravedad y la dirección del vector desplazamiento así como también el ángulo que forman ambos vectores, en este diagrama de cuerpo libre dibujaremos el eje x positivo en la misma dirección en la que se mueve la caja.

Como se puede observar en el diagrama el vector correspondiente a la fuerza de gravedad apunta directamente hacia abajo mientras el vector desplazamiento esta apuntando en la misma dirección en la que se desplaza la caja y el ángulo formado por estos vectores como se puede ver en la figura es α = 90 - θ. 
Ya sabiendo esto procedemos a encontrar el trabajo realizado por la fuerza de gravedad que es igual al producto escalar del vector fuerza y el vector desplazamiento.

Como se puede ver trabajo realizado por la fuerza de gravedad es 
W = mgxsin(θ)

Vea también
Vectores 
La ley de los cosenos
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación

martes, 14 de julio de 2015

Ley de los senos

En este artículo vamos a analizar la ley de los senos, como deducirla matemáticamente y como resolver un problema de geometría usando la ley de los senos.

La ley de los senos es la relación de proporcionalidad que existe entre el seno de un ángulo cualquiera de un triángulo y la medida del lado considerado como opuesto a ese ángulo, y esta proporcionalidad es la misma para todos los lados y todos los senos de los tres ángulos de un triángulo sin importar que tipo de triángulo sea.
La ley de los senos matemáticamente viene expresada así.

Vamos ahora a mostrar el proceso matemático para deducir esta ley, para esto nos guiaremos de dos triángulo con las mismas dimensiones a los que le dibujaremos una linea perpendicular que nos permitirá visualizar los triángulos como la composición de dos triángulos rectángulo y así obtener la función trigonométrica seno para los distintos ángulos del mismo .

Lo primero que haremos es buscar el seno del ángulo θc y el seno del ángulo θa , luego despejaremos la distancia h del triángulo y así obtendremos una relación entre los lados A y C y los senos de los ángulos θc y θa , todo el proceso se muestra a continuación.

Ahora procedemos a igualar la expresión 1 con la expresión 2, luego dividiremos ambos lados de la igualdad entre el producto
sin(θc)·sin(θa).

Ahora sólo nos falta saber si el lado B y el seno del ángulo θb son proporcionales para eso nos guiaremos de la parte b) de la figura del triángulo dado al principio de este artículo que toma una linea auxiliar perpendicular al lado ab cuya medida es h1 para hallar el seno de los ángulo θa y θb en función de la linea cuya medida es h1 que divide el triángulo abc en dos triángulos rectángulos.

Ahora igualamos la expresión 2 y 3 luego dividiremos ambos miembros de la igualdad entre el producto 
sin(θa)·sin(θb), para obtener una relación entre los lados A y B y los senos de los ángulos θa y θb .

Como se puede ver en este resultado B/sin(θb) = A/sin(θa) y también se ha podido ver que C/sin(θc) = A/sin(θa) y como establece el principio matemático que dice que si dos cantidades son iguales a una misma tercera cantidad entonces ambas cantidades son iguales entre si, por lo que 
B/sin(θb) = C/sin(θc  y por tanto se cumple que:

Por tanto queda demostrado que la ley de los senos es:


Veamos un ejemplo del uso de la ley de los senos.

Dado el siguiente triángulo. Hallar la medida de C, el ángulo θa y el ángulo θb.

Solución:
Lo primero que haremos es encontrar la medida C del triángulo para esto usaremos la ley de los cosenos de la cual despejaremos el lado la medida C como se muestra a continuación.

Ahora procederemos a encontrar el ángulo θa para esto usaremos la ley de los senos y relacionaremos la medida A , C y el ángulo θc, y luego despejaremos el sin(θa) para de esta manera encontrar el ángulo θa.


Ya determinado el ángulo θa solo nos falta obtener el ángulo θb que puede ser obtenido mediante la técnica del suplemento de un ángulo aunque en esta ocasión vamos a seguir usando la ley de los senos para obtener este ángulo, para esto relacionaremos la medida B y C del triángulo y el ángulo θc para obtener el ángulo θb.


Como la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo deben sumar 180º , para verificar nuestros resultados para el ángulo θa y el ángulo θb sumaremos los tres ángulos.

θa + θb + θc = 180º 
79.10º + 40.90º + 60º = 180º

Vea también
Ley de los cosenos
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación
Distancia de un punto a una recta
Distancia de un punto a otro punto en el plano y el espacio