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miércoles, 8 de julio de 2015

Como resolver un sistema de ecuaciones lineales en tres variables utilizando el método de igualación

En este post vamos a ver como resolver un sistema de ecuaciones lineales en tres variables que usualmente son las variables x, y, z, utilizando el método o técnica de igualación.

Pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables usando el método de igualación.

1··· El primer paso para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables es despejar una de las variables en cada una de las tres ecuaciones.

2···  Luego de despejar una de la variables en cada una de las tres ecuaciones procedemos a igualar uno de los despejes con los otros dos despejes restantes, y de esta forma reducir el sistema de ecuaciones en tres variables a un sistema de ecuaciones que solo cuente con dos variables.

3···  Resolvemos el sistema de ecuaciones en dos variables utilizando el método de igualación, para conocer el valor de las dos variables en el sistema de ecuación.

4···  Por último sustituimos los dos valores de las variables ya encontrados en una de las tres ecuaciones en tres variables dadas originalmente para así obtener el valor de la tercera variable.

Ejemplo de como solucionar un sistema de ecuación con tres variables usando el método de igualación.

Lo primero que haremos es despejar una de las variables en las tres ecuaciones, en nuestro caso escogeremos la variable x para despejar en la tres ecuaciones, primero vamos a despejar el valor de x de la ecuación 1, como se muestra a continuación.

Ahora procedemos a despejar el valor de x en la ecuación 2

Por último vamos a despejar la variable x en la ecuación 3.

Ya hecho el primer paso, pasamos ahora a igualar el despeje de la variable x de la ecuación 1 con el despeje de la variable x de la ecuación 2 y de esta manera formar una nueva ecuación en dos variables que nombraremos como la ecuación 4.

Ahora pasamos también a igualar el despeje de la variable x de la ecuación 1 con el despeje de la variable x de la ecuación 3 para de esta forma formar una nueva ecuación en dos variables que llamaremos la ecuación 5.

Con la ecuaciones 4 y 5 que son resultado de la igualación de los despejes de la variable x, procedemos a reunirlas y hacemos un sistema de ecuación en las variables y, z.

Ahora aplicamos el método de igualación nuevamente para resolver el sistema de ecuación, para este propósito vamos a despejar primero la variable (y) de la ecuación 4.

Ahora pasamos también a despejar la variable (y) de la ecuación 5.

Ya hecho el despeje de la variable (y) en las ecuaciones 4 y 5 , procedemos a aplicar el método de igualación que consiste en igualar ambos despejes y de esta manera obtendremos una ecuación en una sola variable que en nuestro caso será la variable z, esta ecuación vamos a resolverla para obtener el valor de la variable z.
Primero multiplicamos por -1 ambos lados de la igualdad como se muestra a continuación.

Ahora multiplicamos ambos lados de la igualdad por 2 y resolvemos la ecuación de la misma forma que se resolvería una ecuación lineal normal.

Una vez obtenido el valor de la variable z pasamos a sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones 4 y 5, para luego encontrar el valor de la variable (y), en nuestro caso elegiremos la ecuación 4.

Ya conocemos que {z = 1} y {y = -1}, para obtener el valor de la tercera variable que es x, vamos a sustituir estos dos valores en una de la tres ecuaciones lineales dadas originalmente y despejaremos el valor de la variable x, nosotros escogeremos la ecuación 1 para hacer todo este proceso.

Para verificar que el resultado es correcto pasamos a sustituir cada uno de los valores obtenidos para cada una de las variables en todas y cada una de las ecuaciones lineales en tres variables dadas originalmente y si se cumple la igualdad en cada ecuación entonces los valores de las variables {x,y,z} son correctos.

Como se puede ver la igualdad se cumple de manera correcta en cada una de las ecuaciones del sistema de ecuación, por lo que no hay dudas de que los resultados {x=3,y=-1,z=1} son correctos.

Vea también
Solución de una ecuación en tres variables(método de reducción)
Solución de una ecuación en tres variables (método de sustitución)
Método de sustitución
Método de igualación
Método de reducción
Método de determinante
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación