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viernes, 10 de julio de 2015

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos aunque también es conocida como el teorema del coseno es la relación que existe entre las medidas de los tres lados de un triángulo y uno de sus ángulos .

En este post vamos a ver como se deduce la ley o el teorema del coseno que matemátematicamente se expresa así.

C2 = A2 + B2 - 2ABcos(θ)

También veremos algunos ejemplos de como aplicar esta relación a la solución de un problema geométrico. 
De la figura que se muestra a continuación nos guiaremos para deducir la ley de los cosenos.

Primero buscaremos el coseno del ángulo θ que es (x/a) y despejaremos la distancia x , a partir de hallar la distancia x en el triángulo de más arriba encontraremos la distancia (y) en el triángulo ya que (y = B - x), como se muestra a continuación.

Ahora encontraremos la distancia h de dos formas diferentes y luego vamos a igualar estas dos forma , en la primera usaremos la función trigonométrica seno para relacionar h con el lado A ya que el seno del ángulo de θ es (h/A), y en la segunda forma usaremos el teorema de pictágoras para deducir la distancia h que representa un cateto en el triángulo rectángulo [abd], todo el proceso se muestra a continuación.

Después de igualar la expresión uno y dos procedemos a elevar al cuadrado ambos lados de la igualdad  y a simplificar hasta obtener la expresión matemática dada al principio de este artículo que representa la ley de los cosenos.

Como sin2(θ) + cos2(θ) = 1, sustituimos esta identidad trigonométrica por su igual que es uno, luego hacemos algunas transposiciones de términos para llegar hasta la expresión que nos interesa.

Entonces queda demostrado que el lado A, B, C y el cos(θ) están relacionado por la expresión matemática conocida como la ley de los cosenos.

C2 = A2 + B2 - 2ABcos(θ)

Debemos decir que A y B siempre representan las medidas de los lados del triángulo que son adyacente al ángulo θ, y que el lado C siempre representa el lado opuesto al ángulo θ, por lo que debemos decir que si conocemos las medidas de todos los lados de un triángulo sin importar que tipo de triángulo sea podemos con la ley del coseno encontrar las medidas de los tres ángulos que conforman dicho triángulo.
También debemos decir que si tenemos un triángulo que tiene un ángulo igual a 90º la ley de los cosenos para este caso se reduce a el famoso teorema de pitácgoras ya que el cos(90º) = 0 y el 
término (-2ABcos(90º) = 0) sería cero y la ley de los cosenos entonces sería.

C2 = A2 + B2 - 2ABcos(θ)
C2 = A2 + B2 - 2ABcos(90º)
C2 = A2 + B2 - 2AB(0)
C2 = A2 + B2

Ejemplo
Dado θ = 30º y los dos lados adyacentes al ángulo A= 4cm y 
B = 5cm ¿Hallar la medida del lado C?

Solución:
Ya conocemos que la ley de los cosenos se ajusta perfectamente a esta situación ya que si trazaramos un triángulo con estas características este no es un triángulo rectángulo por tanto no podemos  aplicar el teorema de pitácgoras.
Lo que haremos es sustituir los datos del problema en la expresión que representa la ley de los cosenos y despejaremos la variable meta que es C=?.


Como se puede observar el lado C mide aproximadamente 2.83cm.
Vea también
Distancia de un punto a una recta
Distancia de un punto a otro punto en el plano y el espacio