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martes, 14 de julio de 2015

Ley de los senos

En este artículo vamos a analizar la ley de los senos, como deducirla matemáticamente y como resolver un problema de geometría usando la ley de los senos.

La ley de los senos es la relación de proporcionalidad que existe entre el seno de un ángulo cualquiera de un triángulo y la medida del lado considerado como opuesto a ese ángulo, y esta proporcionalidad es la misma para todos los lados y todos los senos de los tres ángulos de un triángulo sin importar que tipo de triángulo sea.
La ley de los senos matemáticamente viene expresada así.

Vamos ahora a mostrar el proceso matemático para deducir esta ley, para esto nos guiaremos de dos triángulo con las mismas dimensiones a los que le dibujaremos una linea perpendicular que nos permitirá visualizar los triángulos como la composición de dos triángulos rectángulo y así obtener la función trigonométrica seno para los distintos ángulos del mismo .

Lo primero que haremos es buscar el seno del ángulo θc y el seno del ángulo θa , luego despejaremos la distancia h del triángulo y así obtendremos una relación entre los lados A y C y los senos de los ángulos θc y θa , todo el proceso se muestra a continuación.

Ahora procedemos a igualar la expresión 1 con la expresión 2, luego dividiremos ambos lados de la igualdad entre el producto
sin(θc)·sin(θa).

Ahora sólo nos falta saber si el lado B y el seno del ángulo θb son proporcionales para eso nos guiaremos de la parte b) de la figura del triángulo dado al principio de este artículo que toma una linea auxiliar perpendicular al lado ab cuya medida es h1 para hallar el seno de los ángulo θa y θb en función de la linea cuya medida es h1 que divide el triángulo abc en dos triángulos rectángulos.

Ahora igualamos la expresión 2 y 3 luego dividiremos ambos miembros de la igualdad entre el producto 
sin(θa)·sin(θb), para obtener una relación entre los lados A y B y los senos de los ángulos θa y θb .

Como se puede ver en este resultado B/sin(θb) = A/sin(θa) y también se ha podido ver que C/sin(θc) = A/sin(θa) y como establece el principio matemático que dice que si dos cantidades son iguales a una misma tercera cantidad entonces ambas cantidades son iguales entre si, por lo que 
B/sin(θb) = C/sin(θc  y por tanto se cumple que:

Por tanto queda demostrado que la ley de los senos es:


Veamos un ejemplo del uso de la ley de los senos.

Dado el siguiente triángulo. Hallar la medida de C, el ángulo θa y el ángulo θb.

Solución:
Lo primero que haremos es encontrar la medida C del triángulo para esto usaremos la ley de los cosenos de la cual despejaremos el lado la medida C como se muestra a continuación.

Ahora procederemos a encontrar el ángulo θa para esto usaremos la ley de los senos y relacionaremos la medida A , C y el ángulo θc, y luego despejaremos el sin(θa) para de esta manera encontrar el ángulo θa.


Ya determinado el ángulo θa solo nos falta obtener el ángulo θb que puede ser obtenido mediante la técnica del suplemento de un ángulo aunque en esta ocasión vamos a seguir usando la ley de los senos para obtener este ángulo, para esto relacionaremos la medida B y C del triángulo y el ángulo θc para obtener el ángulo θb.


Como la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo deben sumar 180º , para verificar nuestros resultados para el ángulo θa y el ángulo θb sumaremos los tres ángulos.

θa + θb + θc = 180º 
79.10º + 40.90º + 60º = 180º

Vea también
Ley de los cosenos
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación
Distancia de un punto a una recta
Distancia de un punto a otro punto en el plano y el espacio