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martes, 21 de julio de 2015

Producto escalar de dos vectores

En este post vamos a ver como se deduce matemáticamente el producto escalar de dos vectores también veremos algunos ejemplos de como resolver el producto escalar de dos vectores.

¿Cómo se define el producto escalar de dos vectores?

El producto escalar de dos vectores o producto punto como también se le conoce se define como el producto de la magnitudes de ambos vectores multiplicados por el coseno de ángulo que forman ambos vectores.
Matemáticamente el producto escalar se expresa así:

Para deducir esta fórmula que se utiliza en el cálculo del producto escalar nos guiaremos de la siguiente gráfica.


Para deducir la expresión que nos permite obtener el producto escalar o producto punto usaremos la ley de los cosenos que relaciona el coseno de un ángulo con los tres lados de un triángulo ya que como se puede ver en la figura de más arriba el vector  
y el vector  y el vector que une ambos vectores  estos tres vectores forman un triángulo.

Para empezar simplificaremos el miembro izquierdo de la expresión de la ley de los cosenos aplicando la propiedad del producto escalar que establece que un vector multiplicado consigo mismo es igual a la magnitud del vector elevada al cuadrado.

Ahora procedemos a reescribir el miembro izquierdo de la expresión que representa la ley de los cosenos y simplificaremos mediante las técnicas de despejes para obtener la expresión matemática que representa el producto escalar o producto punto.

Como se puede ver en la demostración el producto escalar de dos vectores es igual al producto de las magnitudes de dichos vectores y estos vectores a su vez multiplicados por el coseno del ángulo formados por ambos vectores, de donde podemos decir que si dos vectores son perpendiculares sus producto escalar es 0 ya que el coseno de 90 es 0, si los dos vectores son paralelos el producto escalar es igual simplemente al producto de las magnitudes de ambos vectores ya que el coseno de 0º es 1, y si los vectores son anti-paralelos u opuestos su producto escalar es el producto de las magnitudes de ambos vectores con el signo negativo , todo esto se muestra matemáticamente a continuación.


Ejemplo 1
Hallar el producto escalar de los siguientes vectores y el ángulo que forman. 

solución:
Lo primero que tenemos que decir es que estos vectores están dados en término de los vectores unitarios i y j , en donde el vector i es un vector unitario porque su magnitud es 1 y está dirigido a lo largo del eje x positivo, y el vector j es un vector unitario ya que también su magnitud es 1 y dirección es el eje y positivo, esto significa que el vector unitario i y j son perpendiculares por tanto su producto escalar es cero y el producto de un vector unitario consigo mismo es igual a uno tal como se muestra a continuación.

Con todo lo anterior en mente vamos a realizar el producto escalar multiplicando los vectores como si fuera el producto de dos polinomios.

<Ya conocemos el producto escalar de los dos vectores para encontrar el ángulo que conforman los dos vectores, primero vamos a encontrar la magnitud de ambos vectores, luego despejaremos el ángulo de la fórmula dada al principio de este artículo para calcular el producto escalar.

Ya conocemos la magnitud de cada vector ahora vamos a usar la fórmula dada para el producto escalar de dos vectores y despejaremos el ángulo.

Ejemplo 2
Una caja de masa m se desliza por acción de la fuerza de gravedad por una pendiente con una inclinación θ desplazándose una distancia x en la pendiente como se muestra en la figura 1.
Hallar el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad.

Solución:
Lo primero que hay que decir es que el trabajo está definido como el producto escalar del vector fuerza y desplazamiento, por lo que lo primero que haremos es hacer un diagrama de cuerpo libre que muestre la dirección de la fuerza de gravedad y la dirección del vector desplazamiento así como también el ángulo que forman ambos vectores, en este diagrama de cuerpo libre dibujaremos el eje x positivo en la misma dirección en la que se mueve la caja.

Como se puede observar en el diagrama el vector correspondiente a la fuerza de gravedad apunta directamente hacia abajo mientras el vector desplazamiento esta apuntando en la misma dirección en la que se desplaza la caja y el ángulo formado por estos vectores como se puede ver en la figura es α = 90 - θ. 
Ya sabiendo esto procedemos a encontrar el trabajo realizado por la fuerza de gravedad que es igual al producto escalar del vector fuerza y el vector desplazamiento.

Como se puede ver trabajo realizado por la fuerza de gravedad es 
W = mgxsin(θ)

Vea también
Vectores 
La ley de los cosenos
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación