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jueves, 9 de julio de 2015

Regla de Cramer para resolver un sistema de ecuación lineal con tres variables

En este artículo vamos a analizar como obtener la solución de un sistema de ecuaciones lineales en tres variables que normalmente son x, y ,z ,usando la regla de Cramer o el método de determinante.

Pasos a seguir para solucionar una sistema de ecuación usando la regla de Cramer o el método de determinate.

1###  Tomamos los coeficientes de las variables del sistema de ecuación y hacemos un arreglo matricial con estos datos que nos van a representar el determinante principal (Δ).

2###  Pasamos a determinar el valor numérico que representará el determinante principal (Δ), para hacer esto lo que hacemos es añadir la primera y la segundad fila debajo de la última fila o añadimos la primera o la segunda columna al final de la tercera columna, luego sumamos los producto de las diagonales principales y a esta suma le restamos la suma de los productos de la diagonales secundaria y el resultado numérico de esta operación será el determinante principal de la matriz de datos.

3### Pasamos a buscar el determinante que representará las tres variables ,las matrices de estas variables no contará con los coeficientes de aquella variable a la que le buscamos el determinante, en lugar de estos coeficientes de la variable a la que le queremos buscar el determinante ponemos en su lugar los términos numéricos independientes y hacemos la operación descrita en el paso 2.

4### Una vez determinado el determinante principal y el determinante de la tres variables, la solución para una variable particular del sistema de ecuación lo obtendremos dividiendo el determinante de esta variable entre el determinante principal y repetimos el mismo proceso para cada variable que deseemos conocer su solución.

Veamos un ejemplo que nos permite visualizar como resolver un sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer o el método de determinantes.







Lo primero que haremos es enumerar cada ecuación como ecuación 1,2 y 3 para mayor claridad, luego vamos a tomar los coeficientes de las variables [x , y , z] para formar la matriz que llamaremos el determinante principal (Δ).













Ahora a la matriz que representará la determinante principal (Δ) le vamos a añadir la primera y la segunda columna al final de la tercera columna, luego sumaremos los productos de la diagonales principales y a esta suma le restaremos la suma de los  productos de las diagonales secundarias como se puede ver a continuación.















Como se puede ver el determinante principal es Δ = -1, ahora procederemos del mismo modo para determinar el determinante de la variable (x) y sustituiremos los coeficientes de la variable (x) por los términos numéricos del sistema de ecuación, luego dividiremos esta determinante entre la determinante principal (Δ) para determinar el valor de (x).















Ahora vamos a buscar el valor de la variable (y) dividiendo el determinante de la variable (y) entre el determinante principal (Δ).














Por último vamos a buscar el valor de la variable (z) dividiendo el determinante de la variable (z) entre el determinante principal (Δ).















Para confirma que el resultado es el correcto procedemos a sustituir el valor de cada una de las variables en toda y cada una de las ecuaciones del sistema de ecuación dado originalmente y si se cumple la igualdad entonces el resultado al que hemos llegado es el correcto.











Como se puede ver se cumple la igualdad por tanto el resultado para cada una de las variables es el correcto.

Vea también
Solución de una ecuación en tres variables(método de reducción)
Solución de una ecuación en tres variables (método de sustitución)
Solución de una ecuación en tres variables (método de igualación)
Método de sustitución
Método de igualación
Método de reducción
Método de determinante
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación