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lunes, 6 de julio de 2015

Solución de un sistema de ecuaciones lineales con tres variables con el método de reducción

En este artículo nos ocuparemos de ver como resolver un sistema de ecuaciones lineales en tres variables que usualmente son x, y, z, con el método de reducción suma y resta.

Paso para resolver un sistema de ecuaciones lineales en tres variable.


1- Aplicamos el método de reducción para reducir el sistema de ecuaciones de tres variables a uno que solo cuente con dos de las tres variables dadas en el sistema de ecuación original.


2- Luego que ya  hemos obtenido una reducción del sistema de ecuación  de tres variables a solo dos variables, pasamos nuevamente a aplicar el método de reducción para reducir el sistema de ecuación a una sola variable.


3- Por último pasamos a resolver la ecuación lineal resultante en la variable resultante.


4- Cuando obtenemos un valor para una de las variables pasamos a sustituir este valor en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema de ecuaciones de dos variables que es el resultado del paso 1, y de esta manera obtenemos el valor de una segunda variable del sistema de ecuaciones de tres variable.


5- Por último pasamos a sustituir el valor de estas dos variables en cualquiera de las ecuaciones en tres variables dadas originalmente.


Veamos un ejemplo de como resolver un sistema de ecuaciones lineales en tres variables usando el método de reducción suma y resta exclusivamente.


Vamos a reducir primeramente el sistema de ecuaciones en tres variables x, y, z, a un sistema de ecuaciones en dos variables, en lo que concierne a este ejemplo vamos a reducir o suprimir la variable x, y el sistema se nos reducirá a las dos variables (y) y (z).
Vamos a tomar la ecuación 1 y la ecuación dos en un sistema y la ecuación uno y la tres en otro sistema por separado, estos dos sistema cuando apliquemos el método de reducción se reducirán a solo dos ecuaciones.
Agrupamos la ecuación 1 y la ecuación 2 y reducimos estas ecuaciones en tres variables a una ecuación en dos variables que llamaremos la ecuación 4, para esto multiplicamos la ecuación 1 por el coeficiente negativo de x de la ecuación 2 que es -1.

Repetimos el mismo proceso pero ahora agrupamos las ecuaciones en tres variables 1 y la ecuación 3 y aplicamos el método de reducción para suprimir o eliminar la variable x y reducir ambas ecuaciones a una sola ecuación que llamaremos la ecuación 5.


Ahora reunimos las ecuaciones 4 y 5 en un sistema de ecuaciones que se verá así.


Este sistema de ecuaciones en las variables (y) y (z) procedemos a reducirla usando el método de reducción, para esto escogemos primero la variable a eliminar que en nuestro caso hemos escogido la variable z, pasamos a multiplicar por el coeficiente de la variable z de la ecuación con su signo cambiado -1 por la ecuación 4, tomamos el coeficiente de la variable z de la ecuación 4 que es 2 y multiplicamos cada término de ecuación 5 por 2.


Ahora pasamos a resolver la sencilla ecuación lineal para averiguar el valor de (y).


Ya obtenido el valor de (y) que es 3, pasamos a sustituir este valor en la ecuación 4 o en la ecuación 5, en nuestro caso escogimos la ecuación 4, y procedemos a averiguar el valor de la variable z, despejando la variable z en la ecuación.


Ya conociendo que y = 3 y z = 4, pasamos a sustituir los valores de (y) y (z) en cualquiera de las tres ecuaciones originales dadas en tres variables, nosotros sustituiremos estos dos valores en la ecuación 2, luego pasamos a despejar el valor de x en la ecuación lineal resultante.


Como se pudo observar en todo el proceso de solución la, solución del sistema de ecuaciones en tres variables que hemos analizado en este artículo es x = 1, y = 3, z = 4, para averiguar si el resultado obtenido es el correcto, sustituimos el valor de cada variable en toda y cada una de las ecuaciones del sistema de ecuación original y si se cumple la igualdad entonces los resultados son correctos.


Como se puede observar la igualdad se cumple en las tres ecuaciones por lo que no nos queda duda de que el resultado al que hemos llegado es el correcto.


Vea también

Método de reducción
Método de igualación
Método de sustitución
Método de determinante
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación