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martes, 7 de julio de 2015

Solución de un sistema de ecuaciones con tres variable usando el método de sustitución

En este post estaremos analizando como resolver un sistema de ecuaciones lineales en tres variables que normalmente son x,y,z, utilizando exclusivamente el método de sustitución.

Pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en tres variables usando exclusivamente el método de sustitución.

1/// Como primer paso despejamos una de las variables en cualquiera de las tres ecuaciones lineales que componen el sistema de ecuación.

2/// Como segundo paso sustituimos este despeje en las otras dos ecuaciones restantes y simplificamos.

3/// Como tercer paso reunimos las dos ecuaciones en dos variables que nos resulta del segundo paso y entonces aplicamos el método de sustitución para resolver el sistema de ecuaciones, despejamos nuevamente una de las variables y la sustituimos en la ecuación restante reduciendo el sistema de ecuación en dos variables a una sola variable y encontramos el valor de esta variable.

4/// El valor de la variable encontrada lo sustituimos en una de las ecuaciones del sistema en dos ecuaciones y así encontrar el valor de una segunda variable.

5/// Finalmente los valores encontrados de la dos variables se sustituyen en una de la tres ecuaciones lineales en tres variables dadas originalmente.

Ejemplo de como resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables utilizando exclusivamente el método de sustitución.

Primero para una mejor claridad enumeraremos cada una de las tres ecuaciones como 1, 2 y 3, luego procederemos a despejar la variable x en la ecuación 1 aunque se puede despejar la que usted desee, para despejar la variable x, restamos (-y-z) a ambos lados de la igualdad tal como se muestra a continuación.

Ahora sustituimos el valor del despeje de la variable x en la ecuación 2 y luego simplificamos para obtener una ecuación en dos variables que llamaremos la ecuación 4, tal como se muestra a continuación.

De la misma forma sustituimos el valor del despeje de la variable x en la ecuación 3 del sistema de ecuación original y luego simplificamos para obtener una ecuación en dos variables que llamaremos la ecuación 5, como se puede ver a continuación.

Ahora reunimos la ecuación 4 y 5 en un sistema de ecuación que vamos a resolver aplicando nuevamente el método de sustitución, despejando una de las variables de una de la dos ecuaciones en nuestro caso despejaremos la variable (y) de la ecuación 4 como se muestra a continuación.


Después de despejar la variable (y) pasamos a sustituir el valor del despeje en la ecuación 5 para encontrar el valor de z.

Ahora procedemos a sustituir el valor de (z) encontrado en la ecuación 4 para así obtener el valor de la variable (y), tal como se muestra a continuación.

Una vez que conocemos el valor de (y) y el valor de (z) solo nos resta conocer el valor de (x), para esto sustituiremos los valores encontrados de (y) y de (z) en cualquiera de las tres ecuaciones dadas originalmente y despejamos el valor de x, nosotros tomaremos la ecuación 1 para hacer este proceso tal como se muestra a continuación.

Para comprobar que el resultado es el correcto pasamos a sustuir cada uno de los valores de x, y, z, obtenidos en cada una de la tres ecuaciones del sistema de ecuación dado originalmente y si se cumple la igualdad sabremos que los resultados a lo que hemos llegado son correctos.

Como se puede observar la igualdad se cumple perfectamente con los valores que hemos obtenido, por lo que no nos queda duda de que los resultados a lo que llegamos son los correctos.

Vea también
Solución de una ecuación en tres variables(método de reducción)
Método de sustitución
Método de igualación
Método de reducción
Método de determinante
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación