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miércoles, 1 de julio de 2015

Solución de una ecuación fraccionaria

En este articulo estaremos dando algunas pinceladas de como resolver una ecuación fraccionaria, ya  que una ecuación fraccionaria es aquella que contiene uno o varios de sus coeficientes numéricos como fracciones.

¿Cómo resolver una ecuación fraccionaria?


Si deseamos resolver una ecuación fraccionaria, es importante decir que lo primero que se hace es suprimir o eliminar todo coeficiente que sea fraccionario, para esto nos auxiliamos de la técnica que nos permite obtener el mínimo común múltiplo (M.C.M) de términos numéricos o algebraicos, luego de hacer esto entonces procedemos a resolver nuestra ecuación. 


Veamos algunos ejemplos que nos permiten ilustrar como resolver una ecuación cuyos coeficientes son fraccionarios


Para resolver esta ecuación fraccionaria lo primero que hacemos es buscar el mínimo común múltiplo (M.C.M) de 16, 12 y 3, para esto descomponemos cada número en sus factores primos.


16 = 24

12 = 22 · 3
3 = 3

El mínimo común múltiplo (M.C.M) es el producto de los factores comunes con sus mayores exponentes que es 

24 · 3 = 48 .

Ahora pasamos a multiplicar cada miembro de la ecuación fraccionaria por 48 para quedarnos así.


Como se puede ver la ecuación resultante es una sencilla ecuación lineal, que pasamos a resolver despejando el valor de x, primero sumamos 4 a ambos lados de la ecuación y luego dividimos entre 3 ambos lados de la ecuación tal como se puede observar a continuación.


Y la solución para la ecuación en este ejemplo es x = 20/3 o

x = 6.67.

Veamos otro ejemplo con otra ecuación fraccionaria en donde la variable se encuentra en el denominador.


En esta ecuación lo primero que hacemos es suprimir o eliminar los coeficientes y la variable x que se encuentran en el denominador, para este propósito lo primero que hacemos es hallar el mínimo común múltiplo (M.C.M) en la expresiones algebraicas que se encuentra en el denominador que son

 x, x2 - 4 y x(x2 -4).

x = x

x2 - 4 = (x -2)(x + 2)
x(x2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)

El mínimo común múltiplo (M.C.M) es el producto de las expresiones comunes con sus mayores exponentes que en este caso va a ser

x(x - 2)(x + 2)= x(x2 - 4).

Ahora pasamos a multiplicar cada lado de la igualdad por la expresión que representa el mínimo común múltiplo (M.C.M), quedándonos la ecuación original así.


Como se puede observar la ecuación que nos resulta después de todo este proceso de simplificación es una ecuación cuadrática que podemos resolver por factorización o usando la fórmula general, en nuestro caso vamos a resolver esta ecuación por factorización, para esto vamos a buscar dos números que multiplicado nos den -6 y que sumados nos den -5, estos dos números son 1 y -6, y factorizando tenemos que.


(x + 1)(x - 6) = 0
x + 1 = 0
x - 6 = 0 

Ahora despejando el valor de x en ambas ecuaciones obtenemos las soluciones de la ecuación original.


x + 1 = 0

x + 1 - 1 = -1
x = -1

x - 6 = 0

x - 6 + 6 = 6
x = 6

Como se puede ver las soluciones de la ecuación cuadrática resultante son x = -1 y x = 6. 


Vea también
Mínimo común múltiplo
Factorización
Productos notables
Cocientes notables