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lunes, 31 de agosto de 2015

Número de diagonales de un polígono regular

En este post vamos a ver como se deduce una fórmula que nos permita obtener o saber fácilmente el número de diagonales con que cuenta un polígono regular en particular, también veremos algunos ejemplos que nos ilustrarán la forma de resolver ciertos problemas relacionados con este tema.

En el mundo de las matemáticas muchas fórmula son el producto de analizar ciertos patrones y de modelar matemáticamente estos patrones o secuencias, en el caso de la fórmula que permite calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono regular con n lados, surge del análisis de una secuencia o patrón que en matemática se conoce como una progresión aritmética, vamos a ver el patrón que surge cuándo contamos la cantidad total de diagonales que se pueden trazar en un polígono regular en donde cada diagonal debe se contada una sola vez.

En la figura se puede observar el patrón numérico que se da cuando contamos el número de diagonales de un polígono regular de n lados.
2,5,9,14,20,....
Entre las observaciones que debemos hacer a este patrón es:
2=2
5=2+3
9=2+3+4
14=2+3+4+5
20=2+3+4+5+6
Como se puede observar cada enésimo término de este patrón es igual a la suma del enésimo término de la progresión aritmética.

2,3,4,5,6,7,8,9,10......

Y este patrón lo podemos modelar matemáticamente usando la fórmula que nos permite obtener la sumatoria de los n términos de una progresión aritmética como se muestra a continuación

Como se puede observar la fórmula que modela la suma de los enésimos términos de la progresión aritmética 2,3,4,5,6,7,8,9... es

Esta fórmula modela cada término de el patrón que se obtiene al contar el número de diagonales de un polígono regular pero aún le falta un pequeño detalle y es que n debe representar desde el polígono con menor números de diagonales que es el cuadrado con n=4 hasta cualquier polígono regular con cualquier n cantidad de lados , debemos modelar n de modo que
n=(4-3),(5-3),(6-3),(7-3),...,(n-3)=1,2,3,4,...n , esto significa que la n de la fórmula la vamos a sustituir por n-3, ¿porqué n-3? por que queremos que cuando el polígono regular tenga 3 lados las fórmula nos arroje cero, que es la cantidad de diagonales de un triángulo regular, por lo que haciendo esta sustitución la fórmula nos queda así:

Y la fórmula que permite obtener el número de diagonales que se pueden trazar desde un polígono regular  de n lados es.

En esta fórmula D representa el total de diagonales que se puede trazar en un polígono regular cualquiera y n representa la cantidad de lados de cualquier polígono regular.

Ejemplo 1
¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono con n = 3?

Solución:
El ejercicio dice que n es igual a 3 con este único dato podemos determinar el número de diagonales de este polígono 

Y como era de esperarse desde un triángulo no se puede trazar una sola diagonal.

Ejemplo 2
¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un heptágono regular?

Solución:
Un heptágono regular tiene 7 lados por tanto n=7, sustituyendo este dato en la fórmula vamos a tener.

Y en un heptágono regular se pueden trazar 14 diagonales.

Ejemplo 3
¿Cuánto lados tiene un polígono regular si se sabe que desde este se pueden trazar 4850 diagonales?

Solución:
Usando la fórmula que nos permite averiguar el número de diagonales que se pueden trazar desde un polígono regular sustituimos el único dato que nos da el ejercicio D=4850 y pasamos a despejar el valor de n, tal como se muestra a continuación.

Y la solución de la ecuación cuadrática 
n2 -3n -9700=0 es n=100 y n=-97 , descartamos el valor negativo y entonces el polígono regular desde el cual se pueden trazar 4850 diagonales tiene 100 lados.

Problema propuestos
1- ¿Cuál es el número D de diagonales que se pueden trazar desde un poligono con n = 10 ?
2- ¿Cuál es el número D de diagonales que se pueden trazar desde un poligono con n = 30 ?
3- ¿Cuál es el número D de diagonales que se pueden trazar desde un poligono con n = 5 ?
4- ¿Cuál es el número D de diagonales que se pueden trazar desde un poligono con n = 200 ?
5- ¿Cuánto lados tiene un polígono regular si se sabe que desde este se pueden trazar 44550 diagonales?
6- ¿Cuánto lados tiene y cómo se clasifica un polígono regular si se sabe que desde este se pueden trazar 20 diagonales?

Vea también
Perímetro y área de un polígono regular
Medida y suma de los ángulos internos de un polígono regular
Áreas planas
Progresiones aritmética

jueves, 27 de agosto de 2015

Medida y suma de los ángulos interiores de un polígono regular

En este artículo vamos a estar viendo como se deduce la fórmula que permite obtener la suma de los ángulos interiores de un polígono regular y aquella fórmula que permite obtener la medida de uno de sus ángulos internos.

Medida de un ángulo interno de un polígono regular

Lo primero que debemos decir es que en un polígono regular los ángulos internos miden lo mismo y lo que medirá un ángulo dependerá de la cantidad de lados n que tenga el polígono regular, para deducir una fórmula que permita calcular la medida de un ángulo interno de un polígono regular construiremos un circulo, luego para inscribir un polígono regular, a partir del segmento que representa el radio del circulo medimos un ángulo equivalente a 360º/n, luego  tomamos una abertura de un compás igual a la del arco formado por los dos segmentos de rectas o rayos que forman el ángulo, por último colocamos el compás en las intersecciones de estos rayos y a parir de ahí movemos nuestro compás para intersectarlo con la circunferencia y se nos formarán la misma cantidad de intersecciones como lado tenga el polígono regular tal como se puede ver en la figura. 
Como se puede ver el circulo se nos divide en tres partes con tres ángulos que miden 120º, como la suma de los ángulo internos en un triángulo es 180º como los subtriángulos son triángulos isósceles con un ángulo que mide 120º entonces un ángulo interno del triángulo inscrito es 
(180º - 120º) , esto lo podemos generalizar sabiendo que 360º/n representa uno de los ángulos interiores de los subtriángulos isósceles que forman un lado del polígono y dos de sus radios por lo que el ángulo interno en cualquier polígono regular lo podemos deducir así.

Como se pudo ver en la deducción anterior la medida de un ángulo interno de un ángulo interno de cualquier polígono regular es.

Ejemplo 1
¿Cuánto mide un ángulo interno de un equilátero como el que se muestra en la figura?

Solución:
Como se puede ver un equilátero es un polígono regular con n=3 es decir tiene 3 lados, sustituimos este único dato en la fórmula que nos permite calcular el ángulo interno de un polígono regular y vamos a tener.

Y como era de esperarse en un triángulo equilátero los ángulos internos miden 60º y su suma es 3(60º)=180º.

Ejemplo2
¿Cuánto mide un ángulo interno de un cuadrado?

Solución:
Como se puede ver en la figura un cuadrado tiene 4 lados es decir n=4, con este dato ya podemos averiguar cuánto mide un ángulo interno de un cuadrado.

Y como era de esperarse los ángulos internos de un cuadrado miden 90º, por lo que su suma es 4(90º)=360º.

Ejemplo 3
¿Cuánto mide un ángulo interno de un pentágono regular?

Solución:
Un pentágono tiene 5 lados, sustituyendo este dato en la fórmula para calcular el ángulo interno de un polígono vamos a tener que.

Y un ángulo interno de un polígono regular  es 108º y su suma es 5(108º)=540º.

Suma de los ángulos interiores de un polígono regular

Como se pudo ver en los ejercicios anteriores la suma de los ángulos internos de un polígono regular de 3 lados osea un equilátero es la medida de uno de sus ángulos internos multiplicada por el número de lados 3  es decir 3(60º)=180º, la suma de los ángulos interiores de un polígono de 4 lados osea un cuadrado es la medida de uno de sus ángulos internos multiplicada por el número de lados 4 es decir 4(90º)=360º, la suma de los ángulos interiores de un pentágono regular es la multiplicación de la medida de uno de sus ángulos internos por el número de lados que en un pentágono es 5 osea 5(108º)=540º.
Todo lo anterior lo podemos generalizar a cualquier polígono regular de cualquier n cantidad de lados como se muestra a continuación.

Y como se puede ver de lo anterior la suma de los ángulos internos de un polígono regular es.

Ejemplo1
¿Cuál es la suma de los ángulos internos de un hexágono regular como el de la figura?

Solución:
Como el problema habla de un hexágono regular, el número de lados n es 6, asi que con este dato vamos a averiguar la suma de los ángulos interiores de un hexágono regular, sustituyendo este dato en la fórmula que permite hacer este cálculo.

Ejemplo 2
Si la suma de los ángulos internos de un polígono regular es 900º¿Cuánto lados tiene este polígono regular y cómo se clasifica?
Solución:
El problema habla de la suma de los ángulos internos de un polígono regular por lo que usaremos la fórmula que nos permite hacer esto y luego sustituiremos el dato que nos da el problema y despejaremos n que representa el número de lados de este polígono y que nos permitirá saber como se clasifica este polígono regular.

Como se puede ver n=7 y el polígono se puede clasificar como un heptágono regular.

Problema propuestos
1- Si un ángulo interno de un polígono regular es 128.571¿Cuál es el valor de n en este polígono regular y como se clasifica este polígono?
2- ¿Cuál es la suma de los ángulos internos de un polígono regular si este polígono cuenta con 10 lados?
3- ¿Cuánto mide un ángulo interno de un polígono regular si este tiene 20 lados?
4-Si la suma de los ángulos internos de un polígono regular es 5040º ¿Cuánto  lados tiene este polígono regular y cuánto mide un ángulo interno de este polígono?
5- Si el perímetro cuyo lado mide 5cm es 100cm a) ¿Cuánto mide un ángulo interno de este polígono regular?
b) ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de este polígono regular?

Vea también
Perímetro y área de un polígono regular
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación
Áreas plana

lunes, 24 de agosto de 2015

Aplicación que permite buscar una palabra en un texto y reemplazarla por otra palabra, tantas veces como la palabra aparezca en el texto


Texto a sustituir Nuevo texto
Texto a reparar


¿Cómo se origina esta aplicación?
Un día mientras trabajaba en algunos códigos para una entrada de blog se me presentó el problema de que ya había escrito un mismo código aproximadamente una 100 veces en una entrada que tenía más o menos 300 códigos html y bueno el problema fue que el código que había escrito una 100 veces tuve la necesidad de sustituirlo por otro código, aunque yo podía empezar a buscar manualmente cada código y sustituirlo por el nuevo código esto me iba a tomar un tiempo preciado aparte de que era posible que en este proceso cometiera un error, por lo que pensé Y si hubiera una aplicación o programa que permitiera buscar una palabra en un mar de texto y sustituir esta palabra por una nueva la misma cantidad de veces que aparezca la palabra a sustituir, y es de ahí en donde empiezo a elaborar un aplicación basada en el lenguaje de programación javascript que permita este propósito que hay principio era privado ya que era para mi uso personal pero después pensé y si volvemos esta aplicación de uso público de modo que cualquier persona se beneficie de su uso y de ahí surge esta entrada de este blog, si usted tiene un documento bien extenso y se da cuenta luego de revisar el documento de que una palabra le hace falta un acento, pero el problema es que esta palabra aparece muchas veces en el documento y usted quiere corregir esta palabra entonces esta aplicación es para usted.
¿Cómo funciona esta aplicación?
El usar y sacarle provecho es muy sencillo, simplemente escribimos una porción de texto que nosotros sabemos que aparece en un texto de nuestra propiedad en el campo de la aplicación que dice [Texto a sustituir], luego en el campo [Nuevo texto] escribimos el texto que nosotros queremos que aparezca en nuestro texto, luego en el campo [Texto a reparar] escribimos el texto al que nosotros queremos hacerle los cambio y listo lo último que tenemos que hacer para que la aplicación haga su trabajo es hacer clic en el botón [Ejecutar].
La siguiente captura muestra un ejemplo de la manera de usar esta aplicación.

Limitaciones de la aplicación
 Como toda aplicación esta tiene una limitación, la aplicación no hace las sustituciones cuando el texto a sustituir aparece en el texto a reparar más de 24000 veces es decir por debajo de las 24000 sustituciones la aplicación funciona perfectamente.

¿Quiénes pueden sacarle provecho a esta aplicación?
Creo que esta aplicación le beneficia a todo aquel que necesita hacer lo que esta aplicación hace, aunque debo decir que si usted trabaja con código de programación o diseño de página web esta aplicación le vendrá como anillo al dedo por lo que esta aplicación en si misma hace ahorrarle tiempo y la posibilidad de cometer un error cuando al que hacer múltiples sustituciones de una palabra por otra en un océano de texto y lo mejor es que es online.

viernes, 21 de agosto de 2015

Energía cinética y trabajo


1- Trabajo
2- Teorema de trabajo y energía
3- Trabajo con fuerzas variables
4- Trabajo-energía con fuerzas variables

 
5- Ejercicio 1
6- Ejercicio 2
7- Ejercicio 3
8- Ejercicio 4
9- Ejercicio 5
10- Ejercicio 6

En este post vamos a estar analizando lo que es el trabajo desde el punto de vista de la ciencia física, también analizaremos como se define la energía que tiene un cuerpo en función de su movimiento y nos ilustraremos con algunos ejemplos que demuestren como se aplican estos conceptos de la ciencia física a la solución de múltiples situaciones, uno de estos problemas sería la velocidad final de un objecto cuando se le aplica una fuerza variable durante un intervalo de tiempo determinado.
Tambíén veremos como se relaciona el trabajo con la energía cinética de un cuerpo mediante el teorema de trabajo y energía.

Trabajo
El trabajo en física está definido como el producto de la fuerza que se realiza sobre un objeto en la misma dirección del movimiento del objecto y el desplazamiento del objecto.
También se define como el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.
W = Fx
Ahora si la fuerza que actúa sobre el objecto no está en la misma dirección del desplazamiento osea la fuerza actúa con un ángulo θ respecto a la dirección en que se desplaza el objecto, entonces solo la componente de la fuerza paralela al movimiento del objecto realiza trabajo sobre el objecto por lo que el trabajo va a ser.
W = Fxcos(θ)
Esta fórmula se reduce a W = Fx cuando el cos(θ) = 1, por la definición de producto escalar sabemos que  por lo que podemos expresar el trabajo en forma general así.

La siguiente figuras muestra cuando el trabajo es realizado por una fuerza unidimensional W = Fx y cuando el trabajo es realizado por una fuerza bidimensional W = (Fcos θ)x = Fxcos θ .

La fórmula W=Fxcos θ nos indica que el trabajo es igual Fx cuando el ángulo de acción de la fuerza es 0º, el trabajo es -Fx cuando el ángulo de acción de la fuerza es 180º y el trabajo es 0 cuando el ángulo de acción de la fuerza es 90º .
La unidad en la que se mide el trabajo es la unidad correspondiente al producto de la fuerza y el desplazamiento en donde en el SI la unidad de medida de la fuerza es el Newton y la de distancia es el metro por lo que el joule es igual a un Newton·metro (N·m).

1joule = (1Newton) · (metro)

1J = N·m


Ejemplo 1
Manuel empuja una caja una distancia de 10m tirando de ella mediante una cuerda con un ángulo 30º y con una fuerza de 200N.
¿Cuánto trabajo realiza Manuel?

Solución:
Para solucionar este problema utilizaremos la fórmula para el trabajo 
W = Fxcos θ ya que el problema nos da de manera explicita la fuerza , el desplazamiento y el ángulo con que la fuerza realiza el trabajo por lo que el trabajo realizado por Manuel es.

W = Fxcos θ = (200N)(10m)cos(30º)
W = (2000N·m)cos(30º) = 1732J
W = 1732J

Ejemplo 2
Manuel empuja la misma caja con una fuerza y un desplazamiento ¿Cuánto trabajo realiza Manuel con estos nuevos datos?

Solución:
Como tanto la fuerza como el desplazamiento están dados en términos de vectores unitarios utilizaremos la fórmula para el trabajo dada como un producto escalar.

Por lo que procederemos a hacer el producto escalar de fuerza y el vector desplazamiento le sugerimos ver el artículo producto escalar de dos vectores.

Y como se puede observar en el análisis del producto escalar el trabajo realizado por Manuel ahora es de 1710J.

Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas externas y este cuerpo experimenta un desplazamiento el trabajo total es igual a la fuerzas resultantes de los vectores que representan las fuerzas externas multiplicada por el desplazamiento. 

Energía cinética y teorema de trabajo y energía

Sabemos que si una fuerza neta constante actúa en la misma dirección en que se mueve un cuerpo el trabajo realizado por esta fuerza es positivo es decir W > 0 y el cuerpo acelera , si esta fuerza neta actúa en dirección opuesta al movimiento del cuerpo el trabajo es negativo es decir W < 0 y el cuerpo se frena o desacelera, si la fuerza neta es cero el trabajo es cero W = 0  y el cuerpo se mueve con velocidad constante o está en reposo y la aceleración es 0.

Ahora consideremos una partícula con masa m que se acelera moviéndose a lo largo de un eje unidimensional que puede ser el eje x, por la segunda ley de Newton la fuerza que experimenta esta partícula es F = m·ax, como la partícula se mueve bajo la acción de una fuerza neta constante la aceleración que experimenta es constante y como vimos en el artículo movimiento rectilíneo si la partícula se mueve de un punto x1 en donde tiene una velocidad v1 a un punto x2 en donde tiene una velocidad v2 el desplazamiento experimentado por la partícula que llamaremos x es 
x = x2 - x1 

La expresión para la aceleración la multiplicaremos por m en ambos lados aprovechando el hecho de que F = m·ax.

Como se puede observar el trabajo F·x es el trabajo que se efectúa, que es equivalente al trabajo total realizado por las sumatorias de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula en movimiento.
De el análisis anterior la cantidad K = (1/2)m·v2 se conoce como la energía cinética de la partícula.


[Energía cinética]


Partiendo entonces de que 
K2 = (1/2)mv22  representa la energía cinética final y que la energía cinética inicial la representa
K1 = (1/2)mv12 y la diferencia de estas dos cantidades es el cambio de energía cinética , entonces la ecuación (1) a la que hemos arribado es la relación que existe entre el trabajo y la energía, que físicamente se interpreta así el trabajo total efectuado sobre una partícula o cuerpo es igual al cambio de  energía cinética de la partícula este es el teorema de trabajo y energía.

Wneto = K2 - K1ΔK

Ejercicio 3
Un carro cuya masa es de 100kg se mueve a 100km/h ¿Qué cantidad de energía cinética tiene este carro?

Solución:
Lo primero que debemos hacer es convertir la velocidad de km/h a m/s para esto le sugerimos ver el artículo conversión de medidas, y 100km/h es equivalente a 27.78m/s y ahora usando la fórmula para la energía cinética de un cuerpo en movimiento sustituimos todos los datos dados por el problema

Y como se puede observar la energía cinética del carro es de 38,586J.

Ejemplo 4
Un balón de soccer de 0.56kg se mueve inicialmente con una rapidez de 3m/s. Un jugador lo patea, realizando una fuerza constante de 42N en la misma dirección de su movimiento.
¿Calcular la distancia que el pie debe estar en contacto con el balón para que la rapidez final de éste sea de 7m/s?

Solución:
Para solucionar este problema usaremos el teorema de trabajo-energía  W = K2 - K1 en donde K1 y K2 son 

K1 = (1/2)·(0.56kg)(3m/s)2 = 2.52J
K2 = (1/2)·(0.56kg)(7m/s)2 = 13.72J

Ahora sustituimos todos estos datos en el teorema de trabajo-energia y pasamos a despejar (x) que representa la distancia que el pie debe estar en contacto con el balón.

Energía y trabajo con fuerzas variables

Si una fuerza variable mueve unidimensionalmente un cuerpo de un punto x1 a un punto x2 , si dentro del intervalo [x1,x2] tenemos los puntos a,b,c,d,e,f,g, j y el trabajo aproximado en cada punto sería equivalente al producto de la fuerza en el punto y un pequeñísimo desplazamiento en cada punto, el trabajo aproximado en (a) es 
ΔWa = Fa·Δxa y el trabajo en un punto b es ΔWb = Fb·Δxb y el trabajo en un punto c ΔWc = Fc·Δxc y como se puede ver el trabajo aproximado en el intervalo [x1,x2] es aproximadamente.

ΔW = ΔWa ΔWb + ΔWc + ···· + ΔWj

ΔW = Fa·Δxa + Fb·Δxb + Fc·Δxc + ···· + Fj·Δxj

Y como se puede ver en la figura siguiente es aproximadamente el área bajo la curva Fx que está limitada por x = x1 y x =x2 y el eje x , y = 0 .

Como sabemos una integral definida representa geometricamente el área bajo una curva o función F limitada por el eje x y los punto x = a y x = b.

Por lo que si Δx tiende o se aproxima a cero el trabajo que representa el área bajo la curva Fx , se puede calcular el trabajo sustituyendo A por W , a = x1 y b = x2  y la expresión matemática para el trabajo que realiza una fuerza variable que actúa sobre el eje x es .

Esta integral se reduce al trabajo que realiza una fuerza constante a lo largo del eje x para una partícula que se mueve de un punto x1 a un punto x2, si consideramos Fx constante se tiene que:

También mediante la integral definida para el trabajo con una fuerza variable podemos calcular el trabajo efectuado sobre un resorte ya que la ley de Hooke establece que la fuerza que ejerce un resorte es directamente proporcional a su estiramiento si este no es muy grande la fuerza que se ejerce sobre un resorte para estirarlo es

Fx = kx

si consideramos un resorte que se estira desde un punto x igual a 0 hasta un punto x entonces el trabajo realizado es.

Ahora bien la integral anterior toma en consideración que el resorte no estaba estirado inicialmente osea  x = 0, ahora el trabajo si el resorte inicialmente está estirado una distancia x1 para estirarlo a una distancia x2 es.

Estas fórmulas para el trabajo sobre un resorte se cumple aun si el resorte se comprime ya que en este caso la fuerza que estaríamos ejerciendo sobre el resorte estaría dirigida hacia el eje x negativo y por tanto la fuerza sería negativa.

Fx = -kx


Como se puede observar el trabajo representa el área de un triángulo en donde la base es x y la altura es kx como se observa en la siguiente figura.

Teorema de trabajo y energía usando fuerzas variable en un movimiento en línea recta

Para deducir el teorema de trabajo y energía en un movimiento rectilíneo cuya componente es x, y demostrar que este se aplica cuando la fuerza que realiza trabajo es variable nos auxiliaremos del uso de integrales indefinidas y la regla de la cadena, como ya sabemos la segunda ley de Newton establece que 
Fx = m·ax
donde ax es la derivada de la velocidad respecto al tiempo y vx es función de x y x es función del tiempo t, podemos expresar la aceleración usando la regla de la cadena así.

Ahora el trabajo está definido como la integral de Fx por lo que sustituiremos Fx por max y la aceleración por la expresión que hemos obtenido. 

Ahora bien si en un punto x1 una partícula tiene W = 0 y una velocidad v1 entonces sustituimos estos datos y despejamos la constante C que va a ser.

Ahora procedemos a sustituir el valor de C en la expresión para el trabajo.

Ya obtenida la constante C podemos ahora obtener la expresión para el trabajo cuando la partícula se mueve a un punto x2 con una velocidad v2.

Como se puede observar la ecuación obtenida es aplicable tanto a una fuerza constante que realice trabajo como a una fuerza variable.


Ejemplo 5
Si necesitamos un trabajo de 13J para estirar un resorte una distancia de 2cm con relación a su longitud no estirada. ¿Cuánto trabajo necesitaremos efectuar para comprimir ese resorte 3.5cm con relación a su longitud no estirada?

Solución:
La longitud no estirada nos da como dato que x1 = 0 y entonces x2 = x = 2cm, para resolver el problema necesitamos conocer el valor de la constante de fuerza del resorte k, y esto lo haremos con los datos que nos entrega el problema.

Ahora pasamos a sustituir los datos y convertimos los 2cm a m y luego pasaremos a despejar la constante k.

Ya que la constante k es 65,000N/m ahora ya podemos averiguar cuánto trabajo se necesita para comprimir el resorte desde una posición no estirada si tomamos la posición no estirada como el origen de coordenadas x = 0 y el eje x positivo como la dirección en que se estira el resorte, entonces el eje x negativo como la dirección de compresión del resorte, usando la misma fórmula que usamos para calcular la constante k y x = -3.5cm = -0.035m el trabajo va a ser.

Ejercicio 6
Si una caja de una masa m se desliza por una pendiente con un ángulo de inclinación θ como se muestra en la figura, si la caja se mueve una distancia d hasta la base de la pendiente y la superficie sobre la que se mueve la caja no tiene fricción.Usando el teorema de trabajo y energía ¿Cuál es la velocidad de la caja en la base de la pendiente?.

Lo primero que vamos a hacer es un diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas que actúan sobre la caja.

Como se puede ver en el diagrama de cuerpo libre las fuerzas que actúan sobre la caja a lo largo del eje (x) y (y) son

Y como ya se sabe las fuerzas que actúan perpendiculares al movimiento no realizan trabajo por lo que  el trabajo va a estar concentrado sobre el eje x que lo hemos tomado encima de la superficie sobre la que se mueve la caja.

Ya encontrado el trabajo total pasamos a igualarlo con las diferencias de energías cinéticas cuando la caja empieza a moverse desde el reposo osea v1 = 0 y y la velocidad cuando esta llega a la base de la pendiente v2.

Ya por último pasamos a despejar la variable v2.

Y como se puede observar la velocidad es la misma que si se hubiera dejado caer la caja verticalmente una distancia dcosθ .

Vea también
Producto escalar
Segunda ley de Newton
Despeje de una variable de una fórmula

Reglas básicas de derivación e integración
Vectores