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viernes, 21 de agosto de 2015

Energía cinética y trabajo


1- Trabajo
2- Teorema de trabajo y energía
3- Trabajo con fuerzas variables
4- Trabajo-energía con fuerzas variables

 
5- Ejercicio 1
6- Ejercicio 2
7- Ejercicio 3
8- Ejercicio 4
9- Ejercicio 5
10- Ejercicio 6

En este post vamos a estar analizando lo que es el trabajo desde el punto de vista de la ciencia física, también analizaremos como se define la energía que tiene un cuerpo en función de su movimiento y nos ilustraremos con algunos ejemplos que demuestren como se aplican estos conceptos de la ciencia física a la solución de múltiples situaciones, uno de estos problemas sería la velocidad final de un objecto cuando se le aplica una fuerza variable durante un intervalo de tiempo determinado.
Tambíén veremos como se relaciona el trabajo con la energía cinética de un cuerpo mediante el teorema de trabajo y energía.

Trabajo
El trabajo en física está definido como el producto de la fuerza que se realiza sobre un objeto en la misma dirección del movimiento del objecto y el desplazamiento del objecto.
También se define como el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.
W = Fx
Ahora si la fuerza que actúa sobre el objecto no está en la misma dirección del desplazamiento osea la fuerza actúa con un ángulo θ respecto a la dirección en que se desplaza el objecto, entonces solo la componente de la fuerza paralela al movimiento del objecto realiza trabajo sobre el objecto por lo que el trabajo va a ser.
W = Fxcos(θ)
Esta fórmula se reduce a W = Fx cuando el cos(θ) = 1, por la definición de producto escalar sabemos que  por lo que podemos expresar el trabajo en forma general así.

La siguiente figuras muestra cuando el trabajo es realizado por una fuerza unidimensional W = Fx y cuando el trabajo es realizado por una fuerza bidimensional W = (Fcos θ)x = Fxcos θ .

La fórmula W=Fxcos θ nos indica que el trabajo es igual Fx cuando el ángulo de acción de la fuerza es 0º, el trabajo es -Fx cuando el ángulo de acción de la fuerza es 180º y el trabajo es 0 cuando el ángulo de acción de la fuerza es 90º .
La unidad en la que se mide el trabajo es la unidad correspondiente al producto de la fuerza y el desplazamiento en donde en el SI la unidad de medida de la fuerza es el Newton y la de distancia es el metro por lo que el joule es igual a un Newton·metro (N·m).

1joule = (1Newton) · (metro)

1J = N·m


Ejemplo 1
Manuel empuja una caja una distancia de 10m tirando de ella mediante una cuerda con un ángulo 30º y con una fuerza de 200N.
¿Cuánto trabajo realiza Manuel?

Solución:
Para solucionar este problema utilizaremos la fórmula para el trabajo 
W = Fxcos θ ya que el problema nos da de manera explicita la fuerza , el desplazamiento y el ángulo con que la fuerza realiza el trabajo por lo que el trabajo realizado por Manuel es.

W = Fxcos θ = (200N)(10m)cos(30º)
W = (2000N·m)cos(30º) = 1732J
W = 1732J

Ejemplo 2
Manuel empuja la misma caja con una fuerza y un desplazamiento ¿Cuánto trabajo realiza Manuel con estos nuevos datos?

Solución:
Como tanto la fuerza como el desplazamiento están dados en términos de vectores unitarios utilizaremos la fórmula para el trabajo dada como un producto escalar.

Por lo que procederemos a hacer el producto escalar de fuerza y el vector desplazamiento le sugerimos ver el artículo producto escalar de dos vectores.

Y como se puede observar en el análisis del producto escalar el trabajo realizado por Manuel ahora es de 1710J.

Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas externas y este cuerpo experimenta un desplazamiento el trabajo total es igual a la fuerzas resultantes de los vectores que representan las fuerzas externas multiplicada por el desplazamiento. 

Energía cinética y teorema de trabajo y energía

Sabemos que si una fuerza neta constante actúa en la misma dirección en que se mueve un cuerpo el trabajo realizado por esta fuerza es positivo es decir W > 0 y el cuerpo acelera , si esta fuerza neta actúa en dirección opuesta al movimiento del cuerpo el trabajo es negativo es decir W < 0 y el cuerpo se frena o desacelera, si la fuerza neta es cero el trabajo es cero W = 0  y el cuerpo se mueve con velocidad constante o está en reposo y la aceleración es 0.

Ahora consideremos una partícula con masa m que se acelera moviéndose a lo largo de un eje unidimensional que puede ser el eje x, por la segunda ley de Newton la fuerza que experimenta esta partícula es F = m·ax, como la partícula se mueve bajo la acción de una fuerza neta constante la aceleración que experimenta es constante y como vimos en el artículo movimiento rectilíneo si la partícula se mueve de un punto x1 en donde tiene una velocidad v1 a un punto x2 en donde tiene una velocidad v2 el desplazamiento experimentado por la partícula que llamaremos x es 
x = x2 - x1 

La expresión para la aceleración la multiplicaremos por m en ambos lados aprovechando el hecho de que F = m·ax.

Como se puede observar el trabajo F·x es el trabajo que se efectúa, que es equivalente al trabajo total realizado por las sumatorias de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula en movimiento.
De el análisis anterior la cantidad K = (1/2)m·v2 se conoce como la energía cinética de la partícula.


[Energía cinética]


Partiendo entonces de que 
K2 = (1/2)mv22  representa la energía cinética final y que la energía cinética inicial la representa
K1 = (1/2)mv12 y la diferencia de estas dos cantidades es el cambio de energía cinética , entonces la ecuación (1) a la que hemos arribado es la relación que existe entre el trabajo y la energía, que físicamente se interpreta así el trabajo total efectuado sobre una partícula o cuerpo es igual al cambio de  energía cinética de la partícula este es el teorema de trabajo y energía.

Wneto = K2 - K1ΔK

Ejercicio 3
Un carro cuya masa es de 100kg se mueve a 100km/h ¿Qué cantidad de energía cinética tiene este carro?

Solución:
Lo primero que debemos hacer es convertir la velocidad de km/h a m/s para esto le sugerimos ver el artículo conversión de medidas, y 100km/h es equivalente a 27.78m/s y ahora usando la fórmula para la energía cinética de un cuerpo en movimiento sustituimos todos los datos dados por el problema

Y como se puede observar la energía cinética del carro es de 38,586J.

Ejemplo 4
Un balón de soccer de 0.56kg se mueve inicialmente con una rapidez de 3m/s. Un jugador lo patea, realizando una fuerza constante de 42N en la misma dirección de su movimiento.
¿Calcular la distancia que el pie debe estar en contacto con el balón para que la rapidez final de éste sea de 7m/s?

Solución:
Para solucionar este problema usaremos el teorema de trabajo-energía  W = K2 - K1 en donde K1 y K2 son 

K1 = (1/2)·(0.56kg)(3m/s)2 = 2.52J
K2 = (1/2)·(0.56kg)(7m/s)2 = 13.72J

Ahora sustituimos todos estos datos en el teorema de trabajo-energia y pasamos a despejar (x) que representa la distancia que el pie debe estar en contacto con el balón.

Energía y trabajo con fuerzas variables

Si una fuerza variable mueve unidimensionalmente un cuerpo de un punto x1 a un punto x2 , si dentro del intervalo [x1,x2] tenemos los puntos a,b,c,d,e,f,g, j y el trabajo aproximado en cada punto sería equivalente al producto de la fuerza en el punto y un pequeñísimo desplazamiento en cada punto, el trabajo aproximado en (a) es 
ΔWa = Fa·Δxa y el trabajo en un punto b es ΔWb = Fb·Δxb y el trabajo en un punto c ΔWc = Fc·Δxc y como se puede ver el trabajo aproximado en el intervalo [x1,x2] es aproximadamente.

ΔW = ΔWa ΔWb + ΔWc + ···· + ΔWj

ΔW = Fa·Δxa + Fb·Δxb + Fc·Δxc + ···· + Fj·Δxj

Y como se puede ver en la figura siguiente es aproximadamente el área bajo la curva Fx que está limitada por x = x1 y x =x2 y el eje x , y = 0 .

Como sabemos una integral definida representa geometricamente el área bajo una curva o función F limitada por el eje x y los punto x = a y x = b.

Por lo que si Δx tiende o se aproxima a cero el trabajo que representa el área bajo la curva Fx , se puede calcular el trabajo sustituyendo A por W , a = x1 y b = x2  y la expresión matemática para el trabajo que realiza una fuerza variable que actúa sobre el eje x es .

Esta integral se reduce al trabajo que realiza una fuerza constante a lo largo del eje x para una partícula que se mueve de un punto x1 a un punto x2, si consideramos Fx constante se tiene que:

También mediante la integral definida para el trabajo con una fuerza variable podemos calcular el trabajo efectuado sobre un resorte ya que la ley de Hooke establece que la fuerza que ejerce un resorte es directamente proporcional a su estiramiento si este no es muy grande la fuerza que se ejerce sobre un resorte para estirarlo es

Fx = kx

si consideramos un resorte que se estira desde un punto x igual a 0 hasta un punto x entonces el trabajo realizado es.

Ahora bien la integral anterior toma en consideración que el resorte no estaba estirado inicialmente osea  x = 0, ahora el trabajo si el resorte inicialmente está estirado una distancia x1 para estirarlo a una distancia x2 es.

Estas fórmulas para el trabajo sobre un resorte se cumple aun si el resorte se comprime ya que en este caso la fuerza que estaríamos ejerciendo sobre el resorte estaría dirigida hacia el eje x negativo y por tanto la fuerza sería negativa.

Fx = -kx


Como se puede observar el trabajo representa el área de un triángulo en donde la base es x y la altura es kx como se observa en la siguiente figura.

Teorema de trabajo y energía usando fuerzas variable en un movimiento en línea recta

Para deducir el teorema de trabajo y energía en un movimiento rectilíneo cuya componente es x, y demostrar que este se aplica cuando la fuerza que realiza trabajo es variable nos auxiliaremos del uso de integrales indefinidas y la regla de la cadena, como ya sabemos la segunda ley de Newton establece que 
Fx = m·ax
donde ax es la derivada de la velocidad respecto al tiempo y vx es función de x y x es función del tiempo t, podemos expresar la aceleración usando la regla de la cadena así.

Ahora el trabajo está definido como la integral de Fx por lo que sustituiremos Fx por max y la aceleración por la expresión que hemos obtenido. 

Ahora bien si en un punto x1 una partícula tiene W = 0 y una velocidad v1 entonces sustituimos estos datos y despejamos la constante C que va a ser.

Ahora procedemos a sustituir el valor de C en la expresión para el trabajo.

Ya obtenida la constante C podemos ahora obtener la expresión para el trabajo cuando la partícula se mueve a un punto x2 con una velocidad v2.

Como se puede observar la ecuación obtenida es aplicable tanto a una fuerza constante que realice trabajo como a una fuerza variable.


Ejemplo 5
Si necesitamos un trabajo de 13J para estirar un resorte una distancia de 2cm con relación a su longitud no estirada. ¿Cuánto trabajo necesitaremos efectuar para comprimir ese resorte 3.5cm con relación a su longitud no estirada?

Solución:
La longitud no estirada nos da como dato que x1 = 0 y entonces x2 = x = 2cm, para resolver el problema necesitamos conocer el valor de la constante de fuerza del resorte k, y esto lo haremos con los datos que nos entrega el problema.

Ahora pasamos a sustituir los datos y convertimos los 2cm a m y luego pasaremos a despejar la constante k.

Ya que la constante k es 65,000N/m ahora ya podemos averiguar cuánto trabajo se necesita para comprimir el resorte desde una posición no estirada si tomamos la posición no estirada como el origen de coordenadas x = 0 y el eje x positivo como la dirección en que se estira el resorte, entonces el eje x negativo como la dirección de compresión del resorte, usando la misma fórmula que usamos para calcular la constante k y x = -3.5cm = -0.035m el trabajo va a ser.

Ejercicio 6
Si una caja de una masa m se desliza por una pendiente con un ángulo de inclinación θ como se muestra en la figura, si la caja se mueve una distancia d hasta la base de la pendiente y la superficie sobre la que se mueve la caja no tiene fricción.Usando el teorema de trabajo y energía ¿Cuál es la velocidad de la caja en la base de la pendiente?.

Lo primero que vamos a hacer es un diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas que actúan sobre la caja.

Como se puede ver en el diagrama de cuerpo libre las fuerzas que actúan sobre la caja a lo largo del eje (x) y (y) son

Y como ya se sabe las fuerzas que actúan perpendiculares al movimiento no realizan trabajo por lo que  el trabajo va a estar concentrado sobre el eje x que lo hemos tomado encima de la superficie sobre la que se mueve la caja.

Ya encontrado el trabajo total pasamos a igualarlo con las diferencias de energías cinéticas cuando la caja empieza a moverse desde el reposo osea v1 = 0 y y la velocidad cuando esta llega a la base de la pendiente v2.

Ya por último pasamos a despejar la variable v2.

Y como se puede observar la velocidad es la misma que si se hubiera dejado caer la caja verticalmente una distancia dcosθ .

Vea también
Producto escalar
Segunda ley de Newton
Despeje de una variable de una fórmula

Reglas básicas de derivación e integración
Vectores