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lunes, 3 de agosto de 2015

Inecuaciones

¿Qué es una inecuación?
Como ya vimos en el artículo ecuaciones, una ecuación se definía como una igualdad, una inecuación se define como una desigualdad que tiene dentro de sus contenidos variables.

Ejemplos:

1)  2x > 4

2)  2x + y < 0


3) x2 + 3x - 1 ≥ 0


4)  n2 + 2 > 4


Solución de una inecuación
Para solucionar una inecuación lineal que no incluye un valor absoluto hay que tener pendiente cambiar el signo de la igualdad cuando se multiplica o divide por un número negativo ambos lados de la igualdad, los demás pasos para resolver una inecuación son los mismos que se darían para resolver una ecuación lineal.

Ejemplos:



¿Cómo solucionar una inecuación de segundo grado en una variable?
Las inecuaciónes de segundo grado en una variable están representadas por expresiones comos estas:

ax2 + bx + c > 0      ax2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c ≥ 0      ax2 + bx + c ≤ 0


Siendo a ≠ 0 y a,b,c pertenecen a los números reales.

Pasos para resolver una inecuación de segundo grado en una variable.

Primero obtenemos las raíces x1 y x2, y el discriminante 
Δ = b2 -4ac, y a partir del análisis de estos datos obtenemos la solución de la inecuación.

1) Si Δ > 0 y a > 0, todos los valores que no pertenecen al intervalo
[x1,x2] son soluciones de la inecuación. 

2) Si Δ > 0 y a < 0, todos los valores dentro del intervalo [x1,x2] son soluciones de la inecuación.

3) Si Δ = 0 y a > 0, x1 = x2, la solución de la inecuación es cualquier valor arbitrario de x excepto x1 = x2.

4) Si Δ = 0 y a < 0, la inecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales.

5) Si Δ < 0 y a > 0, cualquier número x real satisface la inecuación.

6) Si Δ  < 0 y a < 0,no existe valor de x que satisfaga la inecuación.

Ejemplo 

x2 - 5x + 6 > 0

Solución:
Resolveremos esta inecuación como si fuera una ecuación cuadrática normal utilizando la fórmula general, luego aplicaremos los principios generales para determinar que conjunto de números satisface la desigualdad o inecuación.


Ahora analizaremos el discriminante de la ecuación cuadrática
Δ = b2 - 4ac, para averiguar si Δ es mayor, menor o igual a cero ya que sabemos que el coeficiente (a) es mayor que cero.

Como se puede ver el discriminante Δ > 0 y a > 0 , lo que corresponde con el caso 1, por tanto la inecuación tiene como solución todos los valores de x excepto los valores de x dentro del intervalo [2,3].
Gráficamente esto se expresa así.


Vea también
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación
Ecuaciones