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domingo, 27 de septiembre de 2015

Determinación del área de un triángulo,un rectángulo y un trapecio usando integrales definidas

En este post vamos a observar como se aplican las integrales definidas a la obtención de las áreas geométricas bien conocidas como son el área de un rectángulo, un triángulo y un trapecio utilizando integrales definidas.

Área de un rectángulo usando integrales definidas

Primero nos enfocaremos en la obtención del área de un rectángulo, formamos un rectángulo en los eje de coordenadas xy, tomando el área delimitada por dos valores de x que tomaremos como x1=0 y x2=b y estos dos valores de x interceptarán la gráfica de la función constante y=h, el resultado de esto es que se nos forma un rectángulo cuya base es b y cuya altura es h, tal como se muestra en la siguiente gráfica.

Nota: Si usted está leyendo este artículo es por que usted tiene alguna noción sobre las integrales si no es así haga clic en [Reglas básicas de integración y derivación].

Para resolver el problema de hallar el área entre el eje x y la gráfica y=h que corresponde al rectángulo rojo, tomaremos una integral de la función y=h definida en el intervalo a≤xb y luego procederemos a simplificar nuestra integral definida, todo este proceso se muestra a continuación.

Y como se puede ver en la simplificación anterior el área de un rectángulo cualquiera es igual bxh.

Área de un triángulo usando integrales definidas

Ahora vamos a delimitar los puntos x1=0 y x2=a en la gráfica de la función y=(b/a)x, estos valores de x, la gráfica de la función 
y=(b/a)x  y  y=0 limitan la gráfica de un triángulo cuya base va a ser b=a-0=a y cuya altura va a ser h=b-0=b, este triángulo se puede observar en la siguiente figura.

De manera que el área bajo la gráfica de la función y=(b/a)x,
0≤x≤a y y=0 la podemos hallar integrando la función y=(b/a)x en los límites 0≤x≤a, todo el proceso de representación de esta integral y su simplificación se muestra a continuación.

Y como muestra el proceso de simplificación de esta integral definida, el área de un triángulo cuya base es b  y cuya altura es h

Nota: Para un mejor entendimiento de este artículo le invito a ver el artículo [Ecuación de la recta].

Área de un trapecio usando integrales definidas

Ahora vamos a observar como se puede deducir utilizando integrales definidas el área de un trapecio, este trapecio está formado en materia de puntos por los puntos (0,0) , (a,0) , (a,b) , (0,c), y en materia de funciones este trapecio está conformado por las rectas x=0 , x=a , y =0 , y=[(b-c)/a]x+c,todo esto se puede observar en la siguiente gráfica.

Nuestra integral definida que nos permitirá obtener el área del trapecio que se nos forma tal como se muestra en la figura la definiremos en el intervalo 0≤x≤a, también tomaremos b1=c , b2=b y h=a, estos valores los sustituiremos al final de la simplificación de nuestra integral definida, todo el proceso de simplificación de esta integral definida se muestra a continuación.

Como se pudo ver en la simplificación anterior el área de un trapecio viene dada por:

Nota: Para un mejor entendimiento de este artículo le invito a leer el artículo [Reglas básicas de derivación e integración].

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