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miércoles, 16 de septiembre de 2015

Notación científica y operaciones básicas

En este post vamos a estar hablando de como expresar una cantidad bien pequeña o una cantidad muy grande en notación científica y analizaremos como hacer una suma, resta, multiplicación y división usando notación científica.

La notación científica cobra valor cuando queremos efectuar alguna operación con dos números que son muy pequeños o por el contrario muy grande, y aparte de esto es poco práctico escribir un número que contenga una unidad seguida de 30, 40, 100 ceros, por la cantidad de tiempo que agotaríamos escribiendo, un ejemplo 200000000000000000000000000000 , imagine que esta cantidad la tuviéramos que multiplicar por una cantidad similar tal como 3358000000000000000000000000, esto sería algo bastante tedioso no por la multiplicación sino por la cantidad de números que tendríamos que escribir si esta operación la realizáramos manualmente, en vista de estos inconvenientes la notación científica viene a salvar el día, ya que una cantidad que contiene 29 números si la tuviéramos que escribir tendríamos que escribir esos 29 números, ahora bien usando notación científica esta cantidad se simplificaría en unos cuantos dígitos.
Ejemplo 23000000000000000000000 , esta cantidad expresada en notación científica se reduce a 2.3x1022, y una cantidad como 0.00000000000000000045 se reduce a 4.5x10-19.

Como expresar un número en notación científica

Para expresar un número en notación científica si el número es mayor que la unidad, trasladamos el punto decimal hasta colocarlo después del primer número entero y la cantidad de lugares que recorre el punto hasta este lugar la colocamos como el exponente de la base 10.
Expresar 23000000. en notación científica

Si el número es menor que la unidad trasladamos el punto decimal hacia la derecha hasta colocarlo después del primer número entero y la cantidad de lugares que el punto decimal se traslade a la derecha la colocamos como el exponente pero con un signo negativo.
Ejemplo 
Expresar 0.000000000037 en notación científica.

Suma y resta de números expresados en notación científica

Para suma dos números que están expresados en notación científica debemos asegurarnos que ambos números estén elevado a el mismo exponente y los coeficientes los sumamos o los restamos de manera normal.
Veamos algunos ejemplos
Ejemplo 1
Sumar 2.4x107 y 3.3x107

Solución:
Como el exponente al que está elevada la base 10 en ambos números es 7 simplemente sumamos 2.4 y 3.3, y al resultado le agregamos (x107).

Ejemplo 2
Realizar 3.7x109 - 1.2x109
Solución:
Como el exponente al que está elevada la base 10 en ambos números es 9 simplemente restamos 3.7 y 1.2, y al resultado le agregamos (x109).

Ejemplo 3
Realizar 3.8x1011 + 1.5x1010
Solución:
Para realizar esta suma lo primero que debemos decir es que al igual que en la suma de dos polinomios los términos semejantes se suman con términos semejantes, en el caso de la notación científica los exponentes de los números expresados en notación científica deben estar elevados a los mismos exponentes, en el caso de este ejercicio debemos de expresar uno de los números con exponente 11 con un exponente 10 para que ambos tengan el mismo exponente 10 o uno de los números con exponente 10 expresarlo con un exponente 11 para que ambos tengan el mismo exponente 11, en nuestro caso vamos a expresar el número  3.8x1011 con exponente 10 y luego sumaremos de manera normal.
Para expresar 3.8x1011 con un exponente 10 simplemente trasladamos el punto un lugar a la derecha y le restamos uno al exponente 11-1=10, todo proceso se muestra a continuación.

El resultado es 3.95x1011 depués de haber trasladado el punto un lugar hacia la izquierda en el número 39.5x1010 .
Debemos decir que todo el proceso que se sigue para sumar estos dos números es el mismo que se debe seguir para restar dos números expresados en notación científica cuyos exponentes son diferentes y recordar que cuando el punto se traslada a la derecha el exponente disminuye en la misma cantidad de lugares que el punto decimal se traslada y si el punto se traslada a la izquierda el exponente aumenta en la misma cantidad de lugares que se traslada el punto decimal.

Multiplicación de números expresado en notación científica

Para multiplicar dos números en notación científica simplemente multiplicamos los coeficientes que forman los números, luego copiamos la base y sumamos los exponentes.
Si ax10b es un número en notación científica y cx10d es otro número expresado en notación científica entonces el producto de estos dos números es

(a x 10b) · (c x 10d) = a·c x 10b+d

Ejemplo 1
Realizar (2x1013)(3x108)
Solución:
Lo primero que hacemos es multiplicar los coeficientes de los dos números expresados en notación científica osea 2 y 3, luego copiamos la misma base 10 y sumamos los exponentes 13 y 8.

(2 x 1013) · (3 x 108) = (2)(3) x 1013+8 = 6 x 1021

Y el resultado de multiplicar 2x1013 y 3x108 es entonces 6x1021 .

Ejemplo 2
Multiplicar (1.2x1012) · (1.5x10-3)
Solución:
Multiplicamos primero los coeficiente, luego copiamos la base y sumamos los exponentes 12 y -3.

(1.2 x 1012) · (1.5 x 10-3) = (1.2)(1.5) x 1012+(-3) 

(1.2)(1.5) x 1012+(-3) = 1.8 x 109


(1.2 x 1012) · (1.5 x 10-3) = 1.8 x 109


Y el resultado es 1.8 x 109 .

División de números expresados en notación científica

Para dividir dos números expresados en notación científica, dividimos los coeficientes de los números expresados en notación científica, luego copiamos la base y al exponente del número en notación científica que representa el numerador le restamos el  exponente del número en notación científica que representa el denominador.
Si ax10b es un número que representa el numerador en una división y cx10d es el número que representa el denominador entonces (ax10b) ÷ (cx10d) es :

Ejemplo 1
Realizar (5x1020÷ (2x1011)
Solución:
Dividimos los dos coeficientes correspondientes a los dos números expresados en notación científica, luego copiamos la base 10 y al exponente del numerador le restamos el exponente del denominador todo el proceso se muestra a continuación.

Y el resultado dividir 5x1020 y 2x1011 es 2.5x109

Ejemplo 2
Realizar (6x10-30÷ (3x1012)
Solución:
Pasamos a dividir los coeficientes 6 y 3, luego copiamos la base y restamos los exponentes -30 y 12, esto se muestra a continuación.

Y al efectuar la resta como 30 es negativo y restando 12 en vez de una resta realizamos una suma de números negativos es decir 
-30 - 12 = -42.

Ejemplo 3
Resolver (1.4x108÷ (1.2x10-4)
Solución:
Primero dividimos 1.4 y 1.2 , luego copiamos la base 10 y restamos los exponentes 8 y -4.

Como se puede ver el resultado de restar los exponentes 8 y -4 es 
8 - (-4) = 8 + 4 = 12, esto es así porque la reglas de los signos establece que multiplicar dos números negativos es un número positivo por lo que -(-4) es equivalente a -1·(-4) por lo que el resultado es 4.

Potencia de un número expresado en notación científica
Para elevar un número expresado en notación científica el coeficiente lo elevamos a la potencia indicada y el exponente del número expresado en notación científica lo multiplicamos por el exponente al que está elevado dicho número expresado en notación científica.

Ejemplo 1
Elevar (4x103)2
Solución:
Elevamos el coeficiente 4 a la potencia 2 es decir 42, y el exponente 3 lo multiplicamos por la potencia 2, 3x2=6.

Y el resultado es 16x106
Raíz de un número expresado en notación científica
Para obtener la raíz de un número expresado en notación científica, le extraemos la raíz al coeficiente y el exponente lo dividimos entre el índice n de la raíz.

Ejemplo 1
Obtener la raíz del número

Solución
Le extraemos la raíz cúbica 3, a 27 que es 3, y el exponente 12 lo dividimos entre el indice 3 de la raíz , y esto nos da 4.

Y el resultado es 3x104
Ejemplo 2

Solución
Cuando el índice de la raíz no se marca asumimos que el índice radical es 2, así que primero obtenemos la raíz cuadrada de 25 que es 5, luego dividimos el exponente 10 entre el índice 2, y esto nos da 5.

Y el resultado es 5x105