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miércoles, 2 de septiembre de 2015

Progresiones aritméticas

En este artículo vamos a analizar una secuencia numérica o patrón numérico que en el campo de las matemáticas es conocido como una progresión aritmética, una progresión aritmética es una secuencia numérica en donde cada enésimo término de la secuencia numérica es el producto de sumar o restar un número fijo conocido como diferencia (d) a el antepenúltimo enésimo término de la secuencia numérica.
Ejemplos de progresiones aritméticas

Lo primero que haremos es deducir una fórmula que nos permita determinar el valor de un término de la sucesión o secuencia que se encuentre en una posición n de la progresión aritmética, y como cada término enésimo de la progresión es el resultado de sumar o restar una número fijo (d) al antepenúltimo término enésimo de la progresión, si tenemos a1 representa el primer término de la progresión entonces el segundo término de la progresión será a1+d, el tercer término a1+d+d=a1+2d , el cuarto término 
a1+d+d+d+d=a1+4d, el antepenúltimo término de la progresión es entonces a1+(n-2)·d y el último término de la progresión va a ser entonces a1+(n-1)·d , todo esto lo podemos expresar de manera compacta así:

De la generalización anterior, la fórmula que nos permite obtener el enésimo término de una progresión aritmética es:

Donde n es la posición que ocupa un término en la progresión aritmética, d es igual a la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera de progresión es decir d=a2-a1=a3-a2=a4-a3 y an representa el término que se encuentra en la posición n.

Antes de ver algunos ejemplos debemos decir que si la progresión aumenta en un número fijo entonces esta progresión aritmética es creciente pero si disminuye en un número fijo esta progresión aritmética decreciente.

1,2,3,4,5,6,...    Progresión creciente
20,17,14,11,..   Progresión decreciente

Ejemplo 1
Hallar el término que ocupa la posición n=12 en la progresión aritmética
7,11,15,19,23,.....

Solución:
Usando la fórmula que nos permite obtener el enésimo término de una progresión aritmética y tomando como dato que a1=7 y 
d=11-7=4 y n=12, sustituimos estos datos en la fórmula para la progresión aritmética.

an = a1 + (n-1)·d
a12 = 7 + (12-1)·4
a12 = 7 + 11·4
a12 = 7 + 44
a12 = 51

Y el término de la progresión aritmética 7,11,15,19,... que ocupa la posición número 12 es a12 = 51

Ejemplo 2
Hallar el término que ocupa la posición n=13 en la progresión aritmética
300,293,286,279,.......

Solución:
Tomamos los datos que son útiles para la solución del ejercicio entre estos datos están a1=300 , n=13, d=293-300=-7 y  a13=? ,
pasamos a sustituir estos datos en la fórmula para hallar el término de la progresión que ocupa la posición 13.

an = a1 + (n-1)·d
a13 = 300 + (13-1)·(-7)
a13 = 300 - (12)·(7)
a13 = 300 - 84
a13 = 216

Y el término que ocupa la posición 13 es 216.

Suma del enésimo término de una progresión aritmética Sn

Ahora procederemos a deducir la fórmula que nos permitirá saber cual es la sumatoria de los enésimos términos de una progresión aritmética y para deducir esta fórmula nos guiaremos de un artificio matemático que nos permita este propósito, sumaremos dos veces la progresión aritmética colocando cada término en forma creciente y luego colocando cada término en forma decreciente .

Como se puede observar la suma de un término en orden ascendente con un término en orden descendente de la progresión aritmética es constante e igual 2a1+(n-1)·d y como la misma progresión se suma dos veces, esta suma es igual al número n de términos que se van a sumar multiplicado por 2a1+(n-1)·d, por tanto vamos a tener que:

Como se puede observar de la deducción anterior la fórmula que permite obtener la sumatoria de los n términos de una progresión aritmética es:

Donde a1 representa el primer término de la progresión aritmética, n el número de términos de la progresión aritmética y d es la diferencia entre dos términos consecutivos y Sn representa la suma de los n términos de la progresión aritmética.
Esta fórmula la podemos reescribir sabiendo que an=a1+(n-1)·d, la fórmula se reescribe así:

Entonces la fórmula que nos permite obtener la sumatoria de los n términos de una progresión aritmética ya reescrita es:

Ejemplo 1
Cuál es la sumatoria de los primeros 30 números de la progresión aritmética 1,2,3,4,5,6,......

Solución:
Como se puede observar la diferencia d entre dos términos consecutivos es d=2-1=3-2=4-3=1 es decir d=1, n es la cantidad de términos de la progresión que vamos a sumar es decir n=30, y a1=1, sustituyendo estos datos en la fórmula que nos permite obtener la sumatoria de los n términos de una progresión aritmética vamos a tener que:

y la suma de los primeros 30 términos de la progresión aritmética es 465.

Ejemplo 2
Demostrar que la sumatoria de los n términos de la progresión aritmética 1,2,3,4,5,6,....,n es

En la progresión que da el ejemplo d=1 , a1=1 y n representa una cantidad determinada de términos de la progresión aritmética, con estos datos y la fórmula que nos permite obtener la sumatoria de los n términos de una progresión aritmética vamos a tener que:

Ejemplo 3
Cuál es la sumatoria de los primeros 9 números de la progresión aritmética 30,27,24,21,18,14,......

Solución:
Los datos son d=30-27=27-24=24-21=-3 es decir d=-3, a1=30 y n=9, sustituyendo estos datos en la fórmula que permite hallar la sumatoria de los n términos de una progresión aritmética vamos a tener.

Y la sumatoria de esta progresión aritmética es Sn=144

Problemas propuestos
1-Hallar el término de la progresión aritmética 2,4,6,8,... que ocupa la posición n=100
2- Si el enésimo término de una progresión aritmética es an=1093 y el primer término de la progresión aritmética es a1=4 y la diferencia entre cada término consecutivo es d=11 ¿Cuánto vale n?
3- Si el enésimo o último término de una progresión aritmética es 1198 , n=100 y d=12 ¿Cuál es el primer término de esta progresión aritmética?
4- Si décimo término de una progresión aritmética es 5 y el primer término de la progresión es (1/2).¿Cuál es la diferencia entre cada dos término numérico consecutivo de la progresión aritmética?
5-Hallar la sumatoria de los 10 primeros términos de la progresión aritmética 0.5,1,1.5,3,3.5,....
6- Si la sumatoria de los 8 primeros términos de una progresión aritmética es 36 y la diferencia entre cada dos término consecutivo de la progresión es 1 ¿Cuál es el primer término de la progresión aritmética?
7- Si la suma de los n términos de una progresión aritmética es 24 y el primer término de la progresión es 2 y la diferencia entre cada término cada dos términos consecutivos es 2 ¿Cuál es el valor de n?

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