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domingo, 6 de septiembre de 2015

Progresiones geométricas

Vamos en este post a estar hablando de lo que es una progresión geométrica, que fórmula nos permite obtener el enésimo término de una progresión geométrica, como podemos obtener la suma de los enésimos términos de una progresión geométrica y aparte de todo esto estaremos viendo en cada uno de estos tópicos ejemplos de aplicación que nos permitirán ver la forma de usar los conceptos y fórmulas que desarrollaremos en este artículo.

Para empezar una progresión geométrica es una secuencia o patrón de números en donde cada  enésimo término del patrón numérico se obtiene a partir de multiplicar por un número fijo el antepenúltimo término enésimo del patrón numérico.

Es decir si a1 es el primer término numérico en un patrón numérico y r representa un número fijo llamado razón, entonces un segundo término del patrón es a1r , un tercer término es a1r2, un cuarto término es a1r3, un antepenúltimo término del patrón será a1rn-2 y el enésimo o último término del patrón va a ser a1rn-1, generalizando todo esto vamos a tener que:

a, a1r , a1r2, a1r3,..........., a1rn-2 , a1rn-1

Por lo que ´la fórmula para calcular el enésimo término de una progresión geométrica será entonce:

an = a1·rn-1

En donde a1 representa el primer término de una progresión geométrica, n representa la posición en la que se encuentra un determinado término de la progresión geométrica, r es la razón y es igual al cociente de dos términos consecutivos de la progresión geométrica y an representa un término de la progresión geométrica que se encuentra en la posición n.

Ejemplo 1
Dada la progresión geométrica 2,4,8,16,..... encontrar el término que se encuentra en la posición n=8.

Solución:
Lo primero que vamos a hacer es encontrar la razón r que es el cociente de dos términos consecutivos de la progresión es decir
r=(4/2)=(8/4)=(16/8)=2 y la razón es igual a 2 osea r=2, y el ejemplo nos da la posición en que se encuentra el término de la progresión que es n=8, con estos datos ya sustituido en la fórmula que nos permite obtener el enésimo término de una progresión geométrica vamos a tener que:

an = a1·rn-1

a1 = 2   r = 2    n = 8    a8 = ?

a8 = 2·28-1

a8 = 2·27

a8 = 28

a8= 256

Ejemplo 2
Dada la progresión geométrica 4096,1024,256,64,.... encontrar a7.

Solución:
Tomamos los datos que nos da el ejemplo y lo sustituimos en la fórmula mediante la cual encontraremos a7.

a1 = 4096   r=1024/4096=1/4   n = 7  a7 =?

an = a1·rn-1


a7 = 4096 · (1/4)7-1

a7 = 4096·(1/4)6

a7 = 4096/4096

a7 = 1

Suma del enésimo término de una progresión geométrica Sn

Para sumar los n términos de una progresión geométrica multiplicamos la suma de los n términos de la progresión geométrica por la razón r, a la suma de los n términos de la progresión aritmética le restamos el resultado de esta multiplicación  y simplificamos para obtener una expresión matemática que nos permita calcular la suma de los n términos de una progresión geométrica tal como se muestra a continuación.

De la deducción anterior queda confirmado que la fórmula o expresión matemática que nos permite calcular el enésimo término de una progresión geométrica es:

Donde a1 representa el primer término de la progresión geométrica, r la razón que es igual al cociente de dos términos consecutivos de la progresión geométrica, n el lugar en que se encuentra un término de la progresión geométrica y Sn es la sumatoria de los n términos de la progresión geométrica.

Ejemplo 1
Hallar la sumatoria de los primeros 11 términos de la progresión geométrica 4, 20, 100,500,······.

Solución:
Tomamos los datos del ejemplo, en donde a1=4, r=(20/4)=5, y n=11, sustituyendo estos datos en la fórmulas que nos permite obtener la sumatoria de los n términos de una progresión geométrica vamos a encontrar a11.

Como se puede ver la suma de los primeros 11 términos de la progresión del ejemplo es 48828140.

Ejemplo 2
Una bola se deja caer desde una h=10m, si cada vez que la bola rebota alcanza la mitad de la altura correspondiente al antepenúltimo rebote, después de 10 rebote ¿Si se suma la altura de cada rebote que distancia se ha movido la bola desde que se dejó caer después que han transcurrido 11 rebotes?

Solución:
Lo primero que hacemos es establecer es que cada distancia de la alturas que alcanza la bola es correspondiente a los términos de una progresión geométrica que tiene como primer término la mitad de la altura inicial de la bola a1=10m/2=5m que es la altura alcanzada en el primer rebote, y el problema implícitamente nos da la razón que es r=1/2, ya que el problema dice que la bola en cada rebote alcanza la mitad de la altura de su penúltimo rebote la distancia que la bola alcanza en cada rebote es 2 veces la altura alcanzada en ese rebote ya que la bola se mueve hacia arriba y luego hacia abajo recorriendo la misma distancia 2 veces y 2Sn va representar la distancia que la bola se ha movido después de 11 rebotes es decir n=11 por tanto la distancia total recorrida por la bola desde que se suelta de una altura h=10m es 10m + 2S11, sustituimos estos datos para tener que:

Como se puede ver la suma de todas las diferentes alturas alcanzadas en los diferentes 11 rebotes y la altura desde la cual se dejó caer la bola es 29.99m.

Problemas propuestos
1- ¿Cuál es el valor de n si el enésimo término de una progresión geométrica es an= 2916 , a1=4 y la razón r=3?
2-En la progresión geométrica 2,0.8,0.32,0.128,·····. ¿Cuánto vale a8?
3- Si a11=30 a1=5 ¿Cuál es el valor de r?
4-Hallar la sumatoria de las áreas de los cuadrados negros y blancos cuándo el proceso de inscripción y circunscripción de cuadrados negros y blancos se continúa hasta el infinito como se muestra en la figura.

5- Si una presa cuenta con 1000000 litros de agua y cada semana la cantidad de agua que se usa para consumir es un cuarto de la cantidad de agua que se consumió la antepenúltima semana.
a) Hallar una expresión matemática que indique la cantidad de litros de agua que se consume semanalmente y otra que indique la cantidad de agua que queda en la presa.
b) ¿Cuántos litros de agua se habrá consumido en 10 semana?
c) ¿En cuántas semanas se consumirán 333007.8 litros de agua?  
d) Si se continúa consumiendo agua bajo las condiciones que describe el problema ¿Se agotará el agua de la presa en algún tiempo o el consumo de agua? explique.
e) Si se agota el consumo de agua bajo las condiciones que describe el problema ¿Cuántos litros en total de agua se habrán consumido y cuántos litros de agua quedarán en la presa?

Vea también
Progresiones aritméticas