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jueves, 26 de noviembre de 2015

Ley de los senos expresada en término del producto vectorial

En este post vamos a analizar como expresar la ley de los senos en término de productos vectoriales por lo que si usted no está familiarizado con el tema Producto vectorial le invitamos a leer antes este tema [Producto vectorial].
Como la ley de los senos viene expresada geometricamente en términos de las medidas y ángulos de un triángulo es importante resaltar que la ley de los senos expresada matemáticamente usando geometría es.






Donde A, B, C  y  θa, θb, θc son los lados y ángulos respectivamente de un triángulo tal como se muestra a continuación.








Lo primero que haremos es representar la longitud A, B, y C como vectores, luego usaremos la definición de producto vectorial para relacionar cada dos vectores con su magnitudes y respectivos ángulos, el triángulo anterior representando cada longitud como un vector nos queda así.








Primero recordemos que la magnitud del producto vectorial de dos vectores cualquiera que formen un ángulo θ es .





El despeje del sen θ  en la fórmula anterior es






Lo primero que haremos es obtener el producto del vector cuya magnitud es B y el vector cuya magnitud es C relacionado con el ángulo que estos forman θa y luego despejaremos el seno(θa) y lo sustituiremos en la ley de los senos y simplificaremos, todo este proceso lo repetiremos con los pares de vectores A y C , y con los vectores A y B, la dirección de los productos vectoriales la tomaremos como positiva cuando este apunte hacia adentro de la pantalla en caso contrario como negativa para este proceso de direccionamiento nos auxiliaremos de la regla de la mano derecha , todo este proceso se muestra a continuación.



















Y como se puede observar la ley de los senos expresada en términos del producto vectorial de cada par de vectores es .






Como el signo de la magnitud del vector resultante de un producto vectorial se toma siempre positivo aunque el producto vectorial sea negativo, como el producto vectorial del vector A y C es negativo este signo negativo no se coloca ya que la magnitud del producto vectorial de estos dos vectores es positiva.
















Vea también
Ley de los senos
Producto vectorial
Fórmula de la ley de los senos como producto escalar
Vectores

lunes, 16 de noviembre de 2015

Cálculo integral y fórmulas del movimiento rectilíneo

En este post vamos a ver como se puede mediante el cálculo integral obtener las fórmulas que se utilizan para el cálculo y resolución de problemas en el movimiento en línea recta.
Si usted está leyendo este artículo es por que usted tiene una idea de como efectuar una integración .

Lo primero que debemos decir es que las fórmulas del movimiento rectilíneo vienen dada en su forma diferencial,lo que haremos es equivalente a resolver estas ecuaciones diferenciales y de esta manera obtendremos las fórmulas que son utilizadas en el movimiento en línea recta con aceleración constante.

En nuestro primer análisis vamos a obtener una relación matemática que nos permita obtener la relación que existe entre la velocidad final, inicial, la aceleración y el tiempo partiendo de la definición de aceleración que no es más que el ritmo o tasa a que cambia la velocidad en el tiempo expresado en forma matemática se ve así.

Lo primero que haremos es despejar la variable diferencial dv, para esto multiplicaremos por dt a ambos lados de la igualdad tal como se muestra a continuación.

Por ultimo vamos a integral ambos miembros de la igualdad, el diferencial dt lo integraremos desde t = 0 donde la velocidad la tomaremos como v0 hasta un tiempo final t en donde tomaremos la velocidad para este instante como v es decir integraremos en los dos intervalos [0,t] y [v0,v].


Y como se puede observar ya hemos obtenidos una de las fórmulas utilizadas en el cálculo de la velocidad para un cuerpo que en un tiempo t=0 se mueve con una velocidad v0 y una aceleración constante durante un tiempo t.


Para una mayor comprensión de este artículo vea el tema [Despeje de una variable de una fórmula].

Ahora hallaremos una relación de movimiento rectilíneo que permite hallar la velocidad final e inicial de una partícula u objecto en función de la aceleración y la posición de la partícula o un objecto determinado, para esta ecuación diferencial utilizaremos la reglas de la cadena para derivada como se muestra a continuación.


Lo que hicimos fue derivar la velocidad respecto a la posición x y la posición x la derivamos respecto al tiempo t 

Ya obtenida la expresión diferencial apropiada procedemos a despejar el diferencial v·dv, multiplicando por el diferencial dx a ambos lados tal como se muestra a continuación.

Ya obtenida una ecuación diferencial apropiada procedemos a integral ambos lados de la ecuación diferencial, integraremos el diferencial dx desde x = 0 hasta x y el diferencial dv desde v0 hasta v, todo el proceso de integración y simplificación se muestra a continuación.


Y después de haber integrado y simplificado hemos obtenido otra de las fórmulas utilizadas en el movimiento rectilíneo, si un cuerpo se mueve desde una posición x = 0 con una velocidad v0 hasta una posición final x con una velocidad v, entonces la posición, velocidad y aceleración están relacionados por la fórmula u ecuación.


Ahora vamos a encontrar la posición de una partícula en función de la velocidad inicial, la aceleración y el tiempo.
Como ya se ha establecido la velocidad es igual al ritmo de cambio de la posición respecto del tiempo, y la aceleración es igual a la segunda derivada de la posición.
Por lo que tomaremos para esta deducción la ecuación diferencial que establece que la velocidad es igual al cambio de posición respecto al tiempo.

Lo primero que haremos es despejar el diferencial dx, para esto multiplicaremos por dt ambos lados de la ecuación diferencial.

Ahora para continuar con esta solución vamos a sustituir la velocidad por la expresión que ya hemos deducido para la velocidad en función del tiempo luego aplicaremos integrales definidas para el intervalo del tiempo t desde t = 0 hasta t, y para la posición tomaremos el intervalo de x = x0 hasta x, una vez hecho esto integraremos y simplificaremos hasta obtener la expresión buscada todo esto se muestra a continuación.



Y como se puede observar la posición de una partícula que empieza a moverse en un instante t = 0 desde una posición x0 con una velocidad v0 y aceleración constante en un instante posterior t es.


Y por ultimo vamos ha encontrar la posición de una partícula en función del tiempo y sus velocidades inicial y final, para esto tomaremos la misma expresión diferencial anterior y obtendremos la velocidad media en función de las velocidades inicial y final, y igualaremos esta expresión con la velocidad media en función de la posición.
Para este propósito tomaremos los intervalos de integración para t desde t = 0 hasta t y utilizaremos la expresión que nos permite obtener la velocidad media.



Y como se puede ver una partícula que se encuentra en x0 en un tiempo t = 0 y velocidad v0, se traslada a una posición x donde tiene una velocidad v, la posición bajo estas variables está dada por la expresión matemática.


Vea también

Movimiento en línea recta
Reglas básicas de integración y derivación
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación

lunes, 9 de noviembre de 2015

Producto vectorial

En este artículo vamos a analizar como obtener el producto vectorial de dos vectores en el plano y en el espacio, aunque debemos decir que siempre el producto vectorial da como resultado un vector ubicado en el espacio excepto solo en el producto vectorial de dos vectores paralelos y antiparalelos , en cuyos casos el vector resultante tendrá una magnitud de cero quedando prácticamente ubicado en el mismo plano que los vectores paralelos y antiparalelos.

Como una manera técnica de obtener la fórmula del producto vectorial se utilizan determinantes 3x3, siendo la primera fila de la matriz de datos de esta determinante los vectores unitarios î,J,k.
En las dos filas restantes se colocan los dos vectores para los cuales queremos saber el producto vectorial.
Si r y q son dos vectores cualquiera 
en donde r = r1i + r2j + r3k   y   q =  q1i + q2j + q3k 
entonces el producto vectorial vienes dado por :
r × q =[r2q3 - r3q2]i - [r1q3 - r3q1]j + [r1q2 - r2q1]k

Esta misma fórmula se puede obtener utilizando determinantes para esto creamos una matriz de datos 3x3, donde la primera fila va a estar compuesta de los vectores unitarios i,j,k, la segunda fila por el vector r y la tercera fila por el vector q, luego procedemos a hallar el determinante teniendo presente que la componente del vector unitario j siempre se toma como negativo.

Ejemplos de como calcular el producto vectorial de dos vectores usando determinantes.
Ejemplo 1
Calcular a)  r×q   b)   r×r   c)   q×r  , si r = i + 3j - 2k y
q = 3i - 2j + k

Solución:

En la solución de los tres productos vectoriales se pudo observar que el producto de dos vectores paralelos r×r es igual a cero y que 
r×q = - q×r , estas son propiedades que forman parte de lo que es un producto vectorial de dos o más vectores.

La siguiente tabla presenta las propiedades algebraicas de un producto vectorial dados los vectores r,q y s y la constante k.


Propiedades algebraicas de un producto vectorial
r × r =  0
r × 0 = 0 × r
r × q = - q × r
r × [q × s] = [r × q] + [r × s]
k[r × q] = [kr] × q = r × [kq]
r · [q × s] = [r × q] · s

También el producto vectorial tiene propiedades geométricas tal como las que se presentan en la siguiente tabla.
Propiedades geométricas de un producto vectorial
r × q  es perpendicular a r y q
r × q = 0  si y solo si r y q son paralelos
||r × q|| = ||r|| ||q|| sen(θ)
||r × q|| es el área de un paralelogramos en donde r y q son adyacentes

Aplicaciones del producto vectorial 
El producto vectorial es aplicable en geometría ya que el área de un paralelogramo es igual a la magnitud del producto vectorial de los vectores que conforman dos de sus lados no paralelos