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jueves, 26 de noviembre de 2015

Ley de los senos expresada en término del producto vectorial

En este post vamos a analizar como expresar la ley de los senos en término de productos vectoriales por lo que si usted no está familiarizado con el tema Producto vectorial le invitamos a leer antes este tema [Producto vectorial].
Como la ley de los senos viene expresada geometricamente en términos de las medidas y ángulos de un triángulo es importante resaltar que la ley de los senos expresada matemáticamente usando geometría es.






Donde A, B, C  y  θa, θb, θc son los lados y ángulos respectivamente de un triángulo tal como se muestra a continuación.








Lo primero que haremos es representar la longitud A, B, y C como vectores, luego usaremos la definición de producto vectorial para relacionar cada dos vectores con su magnitudes y respectivos ángulos, el triángulo anterior representando cada longitud como un vector nos queda así.








Primero recordemos que la magnitud del producto vectorial de dos vectores cualquiera que formen un ángulo θ es .





El despeje del sen θ  en la fórmula anterior es






Lo primero que haremos es obtener el producto del vector cuya magnitud es B y el vector cuya magnitud es C relacionado con el ángulo que estos forman θa y luego despejaremos el seno(θa) y lo sustituiremos en la ley de los senos y simplificaremos, todo este proceso lo repetiremos con los pares de vectores A y C , y con los vectores A y B, la dirección de los productos vectoriales la tomaremos como positiva cuando este apunte hacia adentro de la pantalla en caso contrario como negativa para este proceso de direccionamiento nos auxiliaremos de la regla de la mano derecha , todo este proceso se muestra a continuación.



















Y como se puede observar la ley de los senos expresada en términos del producto vectorial de cada par de vectores es .






Como el signo de la magnitud del vector resultante de un producto vectorial se toma siempre positivo aunque el producto vectorial sea negativo, como el producto vectorial del vector A y C es negativo este signo negativo no se coloca ya que la magnitud del producto vectorial de estos dos vectores es positiva.
















Vea también
Ley de los senos
Producto vectorial
Fórmula de la ley de los senos como producto escalar
Vectores