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jueves, 3 de diciembre de 2015

Fórmula de la ley de los senos como un producto escalar

En este post vamos a ver como se puede expresar la ley de los senos dada en forma geométrica en términos del producto escalar de vectores.
Antes de inicial la deducción de esta fórmula es importante decir que si usted no está familiarizado con el tema producto escalar de dos vectores sería importante que leyera antes el artículo {Producto escalar de dos vectores}

La ley de los senos dada en modo geométrico se expresa así.

Y A, B, C y θa, θb, θc son los lados y ángulos respectivamente de un tríángulo arbitrario tal como el que se muestra a continuación


Ahora vamos mostrar este mismo triángulo con los lados A, B y C representados como vectores, luego vamos a usar la fórmula del producto escalar para relacionar cada par de vectores con sus magnitudes y respectivos ángulos.

Lo primero que haremos es relacionar cada par de vectores con la fórmula del producto escalar que es igual al producto de las magnitudes de dos par de vectores multiplicados por el coseno del ángulo θ.

Y ahora procedemos a despejar el coseno del ángulos en los diferentes productos escalares de los vectores que conforman el triángulo de más arriba.

Ahora vamos a usar la identidad pitagórica que relaciona el ángulo de un triángulo rectángulo con el seno y el coseno de este mismo ángulo y despejaremos el coseno del ángulo.

Este mismo despeje es análogo a los despejes para los diferentes cosenos de ángulos dado en los diferentes productos escalares.

El siguiente paso es despejar el seno de los ángulos θa, θb y θc respectivamente y luego sustituir este despeje en la ley de los senos dada en forma geométrica.



Por último tomamos los despejes del seno de los diferentes ángulos y lo sustituimos en la ley de los senos dada de manera geométrica y luego simplificamos para obtener la ley de los senos expresada en términos de productos escalares.

Y como se pudo observar de la deducción anterior la ley de los senos expresada en términos de productos escalares se escribe así.

Vea también
Producto escalar
Ley de los senos
Producto vectorial
Ley de los senos expresada como productos vectoriales
Vectores