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viernes, 29 de enero de 2016

Inercia de una esfera hueca con pared delgada

En este post vamos a analizar el caso especial del momento de inercia de una esfera hueca con pared delgada, y como ya lo hemos hecho en artículos anteriores empezaremos nuestra tarea de encontrar el momento de inercia de una esfera hueca usando la definición de inercia.
Dada la definición de inercia vamos a empezar la labor de encontrar el momento de inercia de una esfera hueca con pared delgada alrededor de un eje que pasa por su centro O analizando los elementos de la siguiente gráfica.
Como siempre vamos a hallar la masa diferencial dm del anillo rojo, para esto tomaremos los elementos que lo componen tales como el radio r, la densidad p , el grosor ds y el área dA.
Ahora procederemos a sustituir [y] por su igual así como también [ds] que representa el grosor del anillo rojo, para de esta manera tener una expresión matemática que nos permita hacer una integración más relajada.
Y ya teniendo la expresión diferencial dI que representa el momento de inercia de un pequeñísimo anillo circular rojo de la esfera dada más arriba, vamos a proceder a integrar esta expresión diferencial dI desde -R hasta R, para de esta manera obtener el momento de inercia I de una esfera hueca con pared delgada.
Y como se puede ver del resultado de la simplificación anterior el momento de inercia I de una esfera hueca con pared delgada respecto a un eje de rotación que pasa por el centro de la esfera O es.

miércoles, 27 de enero de 2016

Momento de inercia de una esfera sólida

En este artículo vamos a presentar la fórmula que se utiliza para calcular el momento de inercia de una esfera sólida, así como también el análisis que nos lleva a esta fórmula, el momento de inercia está definido matemáticamente así.

Para empezar nuestra tarea de hallar la fórmula que nos permita calcular el momento de inercia de una esfera sólida nos guiaremos de una gráfica que nos detallen los componentes de una esfera tal como se muestra a continuación.

De esta gráfica nos guiaremos para calcular el volumen total de la esfera sólida, también calcularemos el volumen de un cilindro infinitesimal pequeño y calcularemos el momento de inercia infinitesimal o diferencial de nuestro cilindro tomando como referencia la fórmula que se utiliza para calcular el momento de inercia de un cilindro sólido, también relacionaremos la densidad del un volumen total V con la densidad del volumen diferencial dV, para de esta manera obtener la masa dm por medio de despeje.

Ya conocemos la masa diferencial dm, con este dato vamos a obtener el momento de inercia del pequeño cilindro con volumen dV, para luego pasar a integrar.

Ya es hora de que integremos el momento de inercia diferencial del cilindro dI desde -R hasta R, el resultado de esta integración es el momento de inercia de una esfera sólida con densidad uniforme.

Como se puede ver el momento de inercia de una esfera sólida con densidad uniforme con respecto  a un eje de rotación que pasa por el centro de la esfera O es.

Vea también
Momento de inercia de un cilindro hueco, sólido y hueco con pared delgada respectivamente.
Momento de inercia de una placa rectangular delgada con densidad uniforme [parte 1]
Momento de inercia de una placa rectangular delgada con densidad uniforme [parte 2]
Inercia de una varilla delgada con densidad uniforme
Inercia de una varilla delgada con densidad variable
Reglas básicas de integración
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación

martes, 26 de enero de 2016

Momento de inercia de una placa rectangular delgada con densidad uniforme [parte 2]

En este post vamos a continuar la parte 1 del tema {Momento de inercia de una placa rectangular delgada [parte 1]}, así que si usted está interesado en este tema le invito a leer ese artículo.
Bueno entrando en materia de trabajo vamos a empezar a hablar del momento de inercia de una placa rectangular delgada tomando el eje de rotación respecto al cual calcularemos el momento de inercia paralelo a la longitud más larga del rectángulo {b}, bueno el momento de inercia para un cuerpo especifico está definido mediante esta expresión matemática.

Para el cálculo del momento de inercia respecto al eje de rotación paralelo a la longitud {b}, nos guiaremos de la gráfica de un rectángulo con longitudes a y b, cuya área es A=ab y masa M, y la sub-área coloreada de rojo con área diferencial dA=bdy y masa 
dm.

Vamos a relacionar la densidad para la masa total de la placa rectangular y la densidad para la masa diferencial del pequeño rectángulo rojo y de esta manera vamos a despejar la masa diferencial dm del pequeño rectángulo rojo.

Y hecho este despeje estamos preparado para calcular el momento de inercia de una placa rectangular respecto a un eje paralelo a la longitud mayor del rectángulo {b}, para esto sustituiremos la masa diferencial por su igual, y sustituiremos (r) por (y) es decir r=y, y lo demás es cuestión de aplicar las técnicas de integración y simplificaciones numéricas.

Y como se puede observar del proceso de simplificación de la integral el momento de inercia de una placa delgada rectangular respecto a un eje que es paralelo a la longitud mayor de la placa rectangular, ubicado este eje en una posición s es.

Partiendo de la expresión general para calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada respecto a un eje de rotación paralelo a la longitud mayor de la placa en una posición s=0. 
r=y=a-s=a-0=a

Y el momento de inercia de una placa rectangular con un eje paralelo a longitud mayor de la placa ubicado en un extremo de la placa rectangular, tomando s = 0 es.

Y también podemos encontrar el momento de inercia de una placa rectangular basados en la expresión general dada para la inercia de una placa delgada con eje paralelo a la longitud mayor de la placa y con una posición de su eje de rotación s, el momento de inercia para una posición en s=a/2 es.
 
Y el momento de inercia para una placa rectangular con un eje paralelo a la longitud mayor de la placa {b}, con este eje ubicado 
s=a/2, osea a mitad del camino es.

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Inercia de un cilindro hueco, sólido y hueco con pared delgada respectivamente.
Momento de inercia de una varilla delgada con densidad uniforme
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Despeje de una variable de una fórmula u ecuación

lunes, 25 de enero de 2016

Momento de inercia de una placa rectangular delgada con densidad uniforme [parte 1]

En este artículo vamos a estar trabajando en el cálculo del momento de inercia de una placa delgada rectangular, para este propósito nos estaremos guiando de una gráfica y por supuesto por la definición del momento de inercia para un cuerpo especifico.


Como se puede ver en esta figura en donde hemos tomado un pequeño segmento de área coloreada de rojo que es representativo del área total de esta figura que puede ser una puerta.
Para iniciar nuestro análisis acerca del momento de inercia de una placa delgada con densidad uniforme como la que se muestra más arriba, lo primero que haremos es hallar una relación entre la pequeña área roja de la placa y la densidad, así como también la relación de área total de la placa y la densidad, teniendo presente que como la densidad es uniforme esto significa que cualquier pequeña área de la placa rectangular tiene la misma densidad que va a estar dada en términos de la masa y el área de la placa.
El área delimitada por la parte roja es dA=adx, cuya mas es dm, también el área total de la placa rectangular es A=ab, cuya masa es M, por tanto vamos a determinar la densidad para el área total y la sub-área y la relacionaremos para de esta manera encontrar la masa diferencial dm.

Y ya estamos listos para hacer las debidas sustituciones en la expresión integral que nos permitirá calcular el momento de inercia de una placa rectangular con área [A=ab] respecto al eje de rotación que pasa por el punto P.

Y el momento de inercia de una placa delgada alrededor de un eje de rotación que se encuentra en el punto s es.

Con esta expresión general para el momento de inercia respecto a un eje que pasa por P y es paralelo a la longitud {a} del rectángulo, podemos calcular la inercia que debe haber cuando el eje de rotación se encuentra en una posición s = 0, todo el proceso de pura simplificación se muestra a continuación.

Y el momento de inercia de una placa rectangular con el eje de rotación colocado en un extremo es.

De manera similar vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular como la que se muestra más arriba cuando el eje de rotación está ubicado en s = L/2.

Y el momento de inercia de una placa rectangular delgada con un eje ubicado en s=L/2 es

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viernes, 22 de enero de 2016

Inercia de un cilindro hueco, sólido y con paredes delgadas respectivamente

En este post vamos a estar analizando el momento de inercia del cuerpo geométrico conocido como el cilindro, en nuestra primera parte de este análisis vamos a estar considerando como obtener el momento de inercia de un cilindro hueco y a partir de la fórmula que obtengamos para un cilindro hueco vamos a estar deduciendo las fórmulas para el momento de inercia de un cilindro sólido y un cilindro hueco con pared muy delgada.
Como ya es conocido de algunas publicaciones anteriores el momento de inercia está definido en términos de sumatoria e integrales así:

Iniciando ya con el trabajo, lo primero que nos auxiliaremos es de una gráfica de un cilindro hueco que nos permite navegar por el cilindro.

Como se observa en la figura tomamos una rebanada bien delgada del cilindro hueco y calculamos dv, dm y dI que representa la cantidad de inercia de esta rebanada de cilindro, lo único que queda organizar ahora es cada una de estas variables en su respectivos lugares para proceder a integral, claro que también debemos relacionar dm y dv con la densidad uniforme o constante del cilindro hueco .

Ahora lo que queda es sustituir cada uno de los datos anteriores en la expresión que procederemos a integral y luego empezar a simplificar la integral que nos dará como resultado el momento de inercia de un cilindro hueco.

Y como se puede ver el momento de inercia de un cilindro hueco con densidad uniforme o constante  es.

Esta expresión para el momento de inercia la podemos colocar de una manera mas compacta, para esto debemos conocer cuánta masa contiene este cilindro hueco para esto vamos a integral la expresión encontrada para dm que fue dada más arriba.

Ya conocemos la masa M del cilindro hueco ahora, vamos a proceder a obtener el momento de inercia del cilindro hueco en términos de la masa M.

Y el momento de inercia de un cilindro hueco con masa M y radios R1 y R2 es :

De esta expresión que calcula el momento de inercia de un cilindro hueco podemos deducir el momento de inercia de un cilindro sólido y de un cilindro hueco con una pared muy fina.
Para conocer el momento de inercia de un cilindro sólido tomemos 
R1 = 0 y R2 = R, lo demás es pura simplificación.

El momento de inercia de un cilindro sólido con masa M y radio R es :

Ahora procedamos a encontrar el momento de inercia de un cilindro hueco con pared sumamente delgada, se sobreentiende que si la pared del cilindro es muy fina entonces R1 y R2 son aproximadamente iguales, entonces establecemos que 
R1 = R2 = R.
Inercia-de-cilindro-con-pared-delgada
El momento de inercia de un cilindro hueco con pared muy delgada con masa M y radio R es:


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Inercia de una placa cuadrada delgada en torno a un eje que la atraviesa por un vértice, perpendicular al plano de esta.

jueves, 21 de enero de 2016

Momento de inercia de una varilla delgada con densidad variable

En este post vamos a estar considerando los cálculos que se deben hacer para obtener el momento de inercia de una varilla delgada con el caso especial de que la densidad varía de forma lineal a lo largo de la longitud de la varilla delgada, el hecho de que se diga que la densidad es variable se interpreta como que la densidad de un punto con relación a otro punto de la varilla es diferente, por tanto para calcular el momento de inercia de esta varilla delgada bajo estas condiciones es diferente aunque algo similar que cuando la varilla delgada tiene densidad uniforme, el momento de inercia está definido como sigue:


Si para este cálculo definimos la densidad así:

Ahora para continuar con nuestro cálculo despejamos dm .

Ahora tomamos el despeje dm y lo sustituimos en nuestra expresión integral, pero antes sustituimos r por x , y luego establecemos nuestro intervalo de integración que irá desde -s hasta L-s, con estos datos creo que estamos preparados para hacer la simplificación de nuestra expresión integral mediante la cual obtendremos el momento de inercia de una varilla delgada con densidad variable.

Después de desarrollar el binomio (L - s)4, el momento de inercia para una varilla delgada con densidad variable es.

Pero esta expresión se puede expresar en términos de la masa total de la varilla, para esto integraremos la expresión que desarrollamos para dm , dm = kxdx, e integraremos esta ecuación diferencial desde m = 0 en x = 0 hasta M donde x = L, luego este valor lo sustituiremos en la expresión encontrada para el momento de inercia.

Ahora procedemos a sustituir (kL2/2), en la expresión para el momento de inercia de la varilla delgada con densidad variable.

Entonces la expresión más compacta para el momento de inercia de la varilla delgada con densidad variable.

El momento de inercia para una varilla delgada con densidad variable con s = 0, con el eje de rotación ubicado en 
L - s = L - 0 = L, es.

Y como se puede observar el momento de inercia de una varilla delgada con densidad variable  respecto a un eje de rotación ubicado a una distacia L respecto al punto P es .

El momento de inercia para una varilla delgada con densidad variable con s = L/2, con el eje de rotación ubicado en 
L - s = L - L/2 = L/2, es.

Y como se puede observar el momento de inercia de una varilla delgada con densidad variable  respecto a un eje de rotación ubicado a una distacia [L/2] respecto al punto P es .

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