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viernes, 11 de marzo de 2016

Ángulo entre dos rectas que se interceptan

En este artículo vamos a trabajar con el ángulo ubicado entre dos rectas que se interceptan dibujadas en el plano xy, bueno y como ya es una costumbre en este blog vamos a deducir la fórmula para el ángulo entre dos rectas que de hecho debemos decir que dos rectas que se interceptan forman dos ángulo que son suplementarios ya que su suma es de 180 grado.Así en la figura siguiente observamos una gráfica que muestra la intersección de las rectas l1 y l2 y entre ellas se forman los ángulos θa y θb , y el ángulo que forma la recta l1 y l2 con la recta horizontal m es θ1 y θ2 respectivamente, la ecuación matemática de l1 y l2 son [y=m1x+b] y [y=m2x+c] respectivamente.
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En la gráfica se puede observar que el ángulo θa es la diferencia del θ1 y el ángulo θ2, también la pendiente de las rectas l1 y l2 son m1=tan(θ1) y m2=tan(θ2) respectivamente.
Sabiendo esto vamos a usar la identidad trigonométrica tangente de la diferencia de dos ángulos tan(θa)=tan(θ1-θ2) y luego haremos las sustituciones de tan(θ1) y tan(θ2) por m1 y m2 respectivamente, y finalmente vamos a despejar el ángulo θa que es uno de los ángulos localizados entre las rectas l1 y l2, todo este proceso se muestra a continuación.
Nota: aunque en este artículo hablamos de dos ángulos hay que decir que cuando dos rectas se interceptan se forman 4 ángulos los otros dos ángulos son opuestos por el vértice a los ángulos θa y θb respectivamente y miden lo mismo que el ángulo θa y el ángulo θb.  

Y la fórmula matemática que nos permite obtener uno de los ángulos que se forman cuando dos rectas l1 y l2 con pendientes m1 y m2 respectivamente se interceptan donde m1>m2 es.

Ahora bien si ya conocemos el ángulo θa es muy fácil obtener el ángulo θb ya que los ángulos θaθb son suplementarios es decir su suma es de 180º grados, así que con este conocimientos vamos a relacionar los ángulos θaθb mediante la ecuación θa+θb=180º, luego despejaremos el ángulo θb y después sustituiremos la expresión matemática encontrada para θa en este despeje.

Y una de las fórmulas que se puede utilizar para calcular el segundo ángulo que se forma cuando se interceptan dos rectas con pendientes m1 y m2 donde m1>m2 es.

Es importante resaltar que cuando la tangente del ángulo θa es indefinida la expresión para el denominador 1+m1m2 es igual a cero, y el ángulo θa es igual a 90º grado, por lo que si dos rectas que se interceptan en un punto cumplen la condición 1+m1m2=0 entonces dichas rectas son perpendiculares entonces el ángulos o los ángulos que forman estas rectas miden 90 grados.
Si dos rectas que se interceptan son perpendiculares se cumple también que:

También si m1-m2 es igual a cero entonces el ángulo θa que forman las dos rectas que se interceptan en un punto es igual a cero entonces m1=m2, de esto se deprende que si dos rectas tienen la misma o iguales pendientes entonces estas dos rectas son paralelas.

Ya conocemos las fórmulas que nos permiten obtener el ángulo entre dos rectas que se interceptan ahora vamos a ver algunos ejercicios relacionado con este tema.
Ejercicio 1
¿Cuánto miden los ángulos que se forman cuando las rectas [y=x] y [y=2x] se interceptan?
Solución:
Para solucionar este problema usando las fórmulas ya desarrollada en este artículo, tomamos la m1 de la ecuación con mayor pendiente de y=2x es decir m1=2 y m2=1 de la ecuación y=x, y procedemos a hacer las sustituciones de lugar para encontrar uno de estos dos ángulos, luego vamos aprovechar que los dos ángulos son suplementarios para encontrar el otro ángulo.

Y los ángulos que forman estas dos rectas son θa=18.43º y θb=161.57º
Ejercicio 2
Demostrar que la recta [y=(-1/2)x+1] y [y=2x] son ortogonales o perpendiculares.
Solución:
Si la pendientes cumplen la condición 1+m1·m2=0 entonces podemos concluir que las rectas con pendientes m1=2 y m2=-1/2 son perpendiculares.


Y de lo anterior concluimos que las [y=(-1/2)x+1] y [y=2x] son perpendiculares
Ejercicio 3 
Si el ángulo formado por dos rectas que se interceptan mide 45º y la pendiente m1 es m2+3.¿Cúanto mide m1 y m2?
Solución:
Lo primero que tenemos que observar es que el ángulo se encuentra entre dos rectas que se interceptan y que el ángulo que forman es menor que 90º esto nos dice que m1 debe de ser mayor que m2 por tanto tomando m=m2 entonces m1=m+3, hacemos las sustituciones de lugar y procedemos a despejar la variables m.

La ecuación m2+3m-2=0 la solucionamos usando la fórmula general de una ecuación cuadrática.


Y como se puede ver las rectas m1=3.56155 y m2=0.56155 son soluciones de este problema, también las rectas con m1=-0.56155 y m2=-3.56155 son soluciones de este problema.
Vea también
La recta y sus particularidades
Distancia de un punto a otro punto
Distancia de un punto a una recta
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación
Medida y suma de los ángulos interiores de un polígono regular