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viernes, 4 de marzo de 2016

Área de superficie lateral de un cono

Este post viene a traer un tema de geometría elemental, me acuerdo que este tema lo conocí en la escuela primaria, vamos a ver como obtener el área de superficie lateral de un cono, sin lugar a duda el cono es una de la figura geométricas que goza de gran fama en el mundo de la matemáticas.
Para deducir la fórmula que nos permite calcular área superficial lateral de un cono, tomaremos un cono con pared delgada y lo abriremos tal como se muestra en la figura, y como se observa una vez un cono es abierto se forma con el una figura plana conocida como un sector circular.

El radio del sector circular o la generatriz [g] lo podemos obtener por medio del teorema de pitágoras ya que como se puede observar en la figura anterior h, r y g representan las longitudes de un triángulo rectángulo, relacionando la altura y el radio [r] de la base del cono.

Ahora bien la longitud s del arco del sector circular es la misma que la longitud s del círculo de la base del cono, por lo que este dato lo tomaremos para hallar el ángulo central θ que forma el sector circular, este paso es importante ya que este ángulo lo utilizaremos para calcular el área de superficie del cono.

De manera que el área de superficie del cono es igual al área plana del sector circular, por lo que simplemente sustituiremos el ángulo expresado en radianes θ por su igual el proceso se muestra a continuación.

Por lo que las fórmulas que nos permite conocer el área de superficie lateral de un cono en función de su altura h y el radio de la base del cono r o la generatriz g son.

Veamos algunos problemas que pueden ser resueltos usando la expresión matemática o fórmula que permite calcular área superficial de un cono.
Ejemplo 1
Si el área de superficie lateral de un cono es 80cm2 y el radio de la base de dicho cono es 4cm.¿Cuánto mide la altura de este cono?

Solución:
Basándonos en los datos del problema tomaremos la fórmula que nos permite calcular el área de superficie lateral de un cono que relaciona la altura h, el radio r y el área de la superficie Lateral A, procederemos a sustituir estos datos en dicha fórmula y luego despejaremos la altura h del cono todo este proceso se desglosa a continuación.

Y la altura de este cono es de 4.95cm 
Ejemplo 2.
¿Cuánto mide el borde o generatriz g de un cono, si el radio de la base y la altura de dicho cono son 3 y 4cm respectivamente?

Solución:
como se puede ver en la figura la altura, el radio y la generatriz forman un triángulo rectángulo por que usaremos el teorema de pitágoras para calcular la generatriz de este cono.

Y como se pudo calcular la generatriz de un como como el descrito en este problema es de 5cm.
Ejemplo 3
a) ¿A que figura geométrica se reduce un cono si el radio de la base es cero?
b) ¿A que figura geométrica se reduce un cono si su altura se reduce a cero?
Solución:
a) Si el radio de la base se reduce a cero, entonces el área lateral se reduce a cero y el cono se transforma en una línea que va desde la cúspide del cono hasta el centro del círculo de la base.
A = 0
b) Si la altura del cono se disminuye a cero entonces el área lateral es A=π·r2 que corresponde al área del círculo de la base del cono, por lo que el cono se reduce a un círculo.
Ejemplo 4
Encontrar el radio de la base de un cono si la altura del cono es de 20cm y su área es de 300cm2.

Solución:
Tal como lo hicimos en el ejemplo 1, vamos usar la fórmula que relaciona la altura h, el radio y el área lateral del cono, sustituiremos los datos que nos ofrece el problema en la fórmula que nos permite calcular el área superficial del cono.

Y el resultado de resolver la ecuación de cuarto grado 
r4+400r2-9118.9=0 es r=4.65cm 
Ejemplo 6
¿Cuál es el área superficial lateral de un cono con un generatriz de 10cm y un radio de 5cm?
Solución:
Como el problema involucra el área de superficie lateral que es la incógnita, el radio de la base del cono y la generatriz del cono, entonces vamos a utilizar la fórmula para el área de la superficie lateral de un cono que relaciona estas variables y luego sustituiremos los datos dados en el problema.

Y el área superficial de este cono es de 157.1cm2.
Ejemplo 7
Encontrar el área de superficie lateral de un cono cuya altura y radio miden 12 y 4cm respectivamente.
Solución:
Para solucionar este problema vamos a utilizar la formula que nos permite calcular el área superficial de un cono que relacionada con el radio y con la altura de dicho cono.

Y el área lateral de superficie de este cono es 158.96cm2
Vea también
Ecuación de la circunferencia
Perímetro y área de un polígono regular.
Determinación del área de un triángulo, un rectángulo y un trapecio usando integrales definidas.
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación.
Tronco de un cono y área de superficie lateral