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viernes, 18 de marzo de 2016

Tronco de un cono y área de superficie lateral

Para trabajar con este tema lo primero es conocer el área de superficie lateral de un cono, ya que con este dato podemos adentrarnos al análisis del área de superficie de un tronco de un cono cuyos radios son r, R y cuya altura es Δh=H-h tal como se puede observar en la siguiente gráfica.


Bueno y como podemos observar en la gráfica el área de superficie lateral de un tronco de un cono es igual a la diferencia del cono con radio R y altura H y el cono con radio r y altura h.
Como ya hemos visto en el tema [Área de superficie lateral de un cono], el área de superficie lateral de un cono es igual a:

Y simplemente le restamos al área de superficie lateral Acg del cono con radio y altura R y H respectivamente el área de superficie lateral Acp del cono con radio y altura r y h respectivamente, todo el proceso de obtención del área de superficie lateral de un tronco {At} de un cono se muestra a continuación.

Y el área de superficie de un tronco de un cono con radios r y R, y altura del cono si no tuviera truncado H , y la altura del cono que resulta del truncamiento h es.

Y el área de superficie de un tronco de un cono en función de los radios r y R del tronco del cono y las generatriz que forma el cono antes de truncarse g1 y la generatriz del cono una vez truncado g2

Pero como se puede observar esta fórmulas no son muy prácticas ya que la altura h y H no son elementos visibles que podamos medir de un tronco de un cono, por lo que la fórmula que vamos a deducir involucra los elementos que se pueden medir como son r, R y Δh=H-h, para este proceso nos auxiliaremos de la siguiente gráfica.

Y de estas gráfica nos guiaremos para relacionar las alturas H y h con los radios r , R y la altura Δh del tronco del cono para esto usaremos la función trigonométrica tangente [tan(θ)] , todo este proceso se muestra a continuación.


Bueno después de despejar h y H, en dónde tanto h como H la hemos expresado en función de r, R y Δh.

Nos dispondremos a hacer las sustituciones de h y H en la fórmula para el cálculo de un tronco de un cono.

En esta fórmula sustituiremos H y h por su igual tal como se muestra ahora.


Y finalmente después de tantos preámbulos la fórmula para el área de superficie lateral de un tronco de un cono en función de la altura Δh y los radios r y R es.

Que como se puede ver es un compacta y elegante fórmula para el cálculo del área de superficie de un tronco de un cono.
Y como es costumbre en este blog vamos a ver algunos ejemplos con la fórmula que nos permite obtener el área de superficie de un tronco de un cono.
Ejercicio 1
Si la altura y radios de un tronco de un cono son 10cm, 6cm y 3cm respectivamente.¿Cuál es el área de superficie lateral de dicho tronco de cono?

Solución:
Sustituimos los datos r=3cm, R=6cm y Δh=10cm que no da el ejemplo en la fórmula que nos permite calcular el área de superficie de un tronco de cono y procedemos a calcular el área.

Y el área de un tronco de un cono con estas características es de 295.03cm2 aproximadamente.
Ejemplo 2
Si sabemos que el área de superficie lateral de un tronco de un cono es 300cm2, y los radios mayor y menor son 8cm y 2cm respectivamente.¿Cuánto mide la altura Δh de dicho tronco de cono?
Solución:
Como observaremos en el proceso de solución de este ejemplo, sustituiremos los datos que nos brinda el ejemplo en la fórmula para el área de un tronco de un cono, y lo próximo que haremos es despejar la variable Δh de la ecuación que se nos forma tal como se muestra ahora.

Y la altura de un tronco de un cono con las características de este ejemplo es Δh=7.43cm.
Ejemplo 3
¿A que se reduce el área de un tronco de un cono cuando los radios mayor y menor son iguales y diferentes de cero?
Solución:
Mirando la figura de un tronco de cono, a simple vista se puede ver que el tronco de cono se reduce a un cilindro cuando r=R, por tanto la fórmula para el área de superficie de un tronco de un cono también se reduce a la fórmula del área de superficie de un cilindro.


Vea también
Área de superficie lateral de un cono
Ecuación de la circunferencia
Determinación del área de un triángulo, un rectángulo y un trapecio usando cálculo integral
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación