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viernes, 24 de junio de 2016

Cambio de variable-Técnica de integración

En este post vamos a hablar de como simplificar o resolver integrales aplicando la técnica de integración que usa cambios de variables, y para explicar como se puede integrar una función utilizando el método de integración por cambio de variable vamos a resolver algunos ejemplos aplicando esta técnica.
Simplificar las siguientes integrales usando cambio de variable.

Ejemplo 1
\(\int_{}\frac{{e}^{x}}{1-{e}^{x}}dx\)
Lo primero que haremos es igualar el denominador a \(u\) es decir \(u=1-{e}^{x}\), y derivaremos \(u\) respecto de \(x\) es decir \(\frac{du}{dx}=-{e}^{x}\), luego despejamos \(du\), dándonos \(du=-{e}^{x}dx\), después de hecho esto reescribimos la integral de modo tal que podamos sustituir \(u\) y \(du\), es decir
\(\int_{}\frac{{e}^{x}dx}{1-{e}^{x}}=-\int_{}\frac{-{e}^{x}dx}{1-{e}^{x}}=-\int_{}\frac{du}{u}\)
Y después de hecho todo los cambios de variables anteriores nos avocamos a hacer la integración como se muestra a continuación.

Ejemplo 2
\(\int_{}\frac{x}{2+{x}^{2}}dx\)
Primero igualamos a \(u\) el denominador de la fracción a integrar es decir \(u=2+{x}^{2}\), luego derivamos \(u\) respecto de \(x\) dándonos \(\frac{du}{dx}=2x\), ahora despejamos \(du\) dándonos
\(du=2xdx\), ahora pasamos a acomodar la integrar del ejemplo 2 para hacer los cambios de variables de lugar es decir.
\(\int_{}\frac{xdx}{2+{x}^{2}}=\left(\frac{1}{2}\right)\int_{}\frac{2xdx}{1+{x}^{2}}=\left(\frac{1}{2}\right)\int_{}\frac{du}{u}\)
 Ahora procedemos a integrar.


Ejemplo 3
\(\int_{}\sec{}\theta d\theta\)
Para realizar esta integración multiplicamos \(\sec{}\theta\) por \(\frac{\sec{}\theta + \tan{}\theta}{\sec{}\theta + \tan{}\theta}\) ya que observamos que la derivada de \(\sec{}\theta + \tan{}\theta\) respecto de \(\theta\) es igual a \({\sec{}}^{2}\theta +\tan{}\theta\sec{}\theta\) y esto nos soluciona de manera instantánea la integral ya que sabemos que \(\int_{}\frac{du}{u}=ln\left |  u\right |+C\), teniendo esto pendiente pasamos a resolver la integral del ejemplo 3.

Ejemplo 4
\(\int_{}\sqrt{1+{x}^{2}}dx\)
Lo primero que haremos es sustituir \(x\) por \(\tan{}\varphi\) entonces \(x=\tan{ \varphi}\) y entonces se cumplirá la igualdad de identidades pictagóricas \(\sqrt{1+{x}^{2}}=\sqrt{1+{\tan{ }}^{2}\varphi}=\sec{\varphi}\), derivamos \(x\) respecto de \(\varphi\) para obtener \(\frac{dx}{d\varphi}={\sec{}}^{2}\varphi\) y despejando \(dx\) tenemos \(dx={\sec{}}^{2}\varphi d \varphi \), entonces
\(\int_{}\sqrt{1+{x}^{2}}dx=\)
\(\int_{}\left(\sqrt{1+{\tan{}}^{2}\varphi}\right){\sec{}}^{2}\varphi d\varphi \)
\(\int_{}\left(\sqrt{{\sec{}}^{2}\varphi}\right){\sec{}}^{2}\varphi d\varphi\)
\(\int_{}{\sec{}}^{3}\varphi d\varphi\)
Ahora reescribimos la integral.\(\int_{}{\sec{}}^{3}\varphi d\varphi\) como \(\int_{}{\sec{}}^{3}\varphi d\varphi =\int_{}\left(\sec{}\varphi\right)\left({\sec{}}^{2}\varphi\right) d\varphi\) y pasamos a integrar por partes todo el proceso se muestra a continuación.

Y ahora sustituimos nuevamente \(\tan{}\varphi\) por \(x\) , \({\sec{}}^{2}\varphi d\varphi\) por \(dx\) y \(\sec{}\varphi\) por \(\sqrt{1+{x}^{2}}\) y entonces la simplificación de la integral es.

Ejemplo 5
\(\int_{}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx\)
Para resolver esta integral primero sustituimos \(x\) por \(a\sin{}\theta\) es decir \(x=a\sin{}\theta\), y entonces \(\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}\) a \(\sqrt{{a}^{2}-{a\sin{}\theta}^{2}}=a\cos{}\theta\) , ahora derivamos \(dx\) respecto de \(\theta\), \(\frac{dx}{d\theta}=\frac{d\left[a\sin{}\theta\right]}{d\theta}=a\cos{}\theta\), despejando \(dx\) tenemos que \(dx=a\cos{}\theta d\theta\), sabiendo todo esto pasamos a hacer las diferentes sustituciones todo este proceso de integración por cambio de variable se muestra a continuación.

Ahora despejamos \({\cos{}}^{2}\theta\) de la identidad trigonométrica \(\cos{}2\theta=2{\cos{}}^{2}\theta-1\), y podemos continuar el proceso de simplificación.

Volvemos y le aplicamos el cambio de variable a la integral \(\left(\frac{{a}^{2}}{2}\right)\int_{}\cos{}2\theta d\theta\), es decir tomamos \(u=2\theta\) y \(du=2d\theta\) de donde \(d\theta=\frac{du}{2}\) por tanto.

Ahora sustituimos \(\sin{}2\theta\) por \(2\sin{}\theta\cos{}\theta\) para tener.

Y por último sustituimos \(a\sin{}\theta\) por \(x\) y \(a\cos{}\theta\) por \(\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}\) también sustituimos \(\theta\) por \(\arcsin{\left(\frac{x}{a}\right)}\), y la solución de la integral \(\int_{}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx\) es.

Vea también
Técnica de integración por partes
Reglas básicas de derivación e integración
Determinación del área de un triángulo, un rectángulo y un trapecio usando integrales definidas
Cálculo integral y fórmulas del movimiento rectilíneo
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación

viernes, 10 de junio de 2016

Técnica de integración por partes

En este post vamos a ver como aplicar la técnica de integración por partes a la resolución de una integrar en donde la mayoría de las veces la función a integrar es una función compuesta de más funciones, lo primero que observaremos es la fórmula que se utiliza a la hora de realizar una integración por partes, si miramos la derivada del producto de dos funciones \(u\) y \(v\) respecto de \(x\) es

Por lo que si integramos ambos lados de la igualdad entonces tendremos que :

Ahora despejamos la expresion integral \(\int_{}u\cdot v' dx\)

Ahora bien si tomamos \(v'dx=dv\) y \(u'dx=du\) entonces vamos a tener que:

Por tanto la expresión matemática que usaremos para integrar por partes va a ser :
 
Para ilustrar mejor la técnica de integración por partes veamos algunos ejercicios resueltos.
Solucionar estas integrales por la técnica de integración por partes

Nota: en la solución de cada uno de estos 3 ejemplos tomamos la constante de integración \(C=0\), aunque usted si así lo desea puede agregarle la constante \(C\) al final de la integración ya que estamos hablando  de integrales indefinidas.
Ejemplo 1
\(\int{}x{e}^{x}dx\)
Primero tomamos \(u=x\) y derivamos \(u=x\) respecto de \(x\), \(\frac{du}{dx}=\frac{dx}{dx}=1\) y luego despejando \(du\), tenemos \(du=dx\), análogamente tomamos \(dv={e}^{x}dx\) y obtenemos el valor de \(v\) integrando \(\int_{}{e}^{x}dx\), y por último sustituimos todos los valores \(u\), \(v\) y \(du\) en la fórmula que nos permite integrar por partes, todo este proceso se muestra a continuación.


Ejemplo 2
\(\int_{}xsinxdx\)
Para resolver esta integrar por partes primero tomaremos \(u=x\) y derivando \(u\) respecto de \(x\) tenemos \(\frac{du}{dx}=\frac{dx}{dx}=1\) y despejando \(du\), \(du=dx\), ahora tomamos \(dv=sinxdx\) e integramos \(\int_{}sinxdx\) para obtener \(v=-cosx\), ya tenemos \(u\), \(v\) y \(du\), lo único que resta es sustituir estos valores en la fórmula para la integración por partes como se muestra a continuación.


Ejemplo 3
\(\int_{}{e}^{x}cosxdx\)
Bueno en el proceso de resolución de esta integral tendremos que hacer dos integraciones por partes.
Primero cogemos  \(u=cosx\) y \(dv={e}^{x}dx\), luego derivamos \(u\) respecto de \(x\) dándonos \(\frac{du}{dx}=-sinx\) e integramos \(dv\) dándonos \(v=\int{}{e}^{x}={e}^{x}\), después de haber obtenido \(u\), \(v\) y \(du\) pasamos a sustituir estos valores en la fórmula de integración por partes.

Para proseguir debemos detenernos un poco para integrar por parte la integral \(\int_{}{e}^{x}sinxdx\), donde tomaremos \(u=sinx\) y \(du=cosxdx\), tomaremos también \(dv={e}^{x}dx\) y \(v=\int_{}{e}^{x}dx={e}^{x}\), ahora sustituimos estos valores en la fórmula de integración por partes.

Y como ya conocemos \(\int_{}{e}^{x}sinxdx\), ahora sustituimos este valor en la integral

Y ahora nos avocamos a conocer el valor de la integral \(\int_{}{e}^{x}cosxdx\).

Ejemplo 4
Utilizar integración por partes para resolver la siguiente integral, sabiendo que \(n\) es un entero mayor o igual a dos.

Para resolver esta integral lo primero que haremos es reescribir el integrando como un producto es decir \(\int_{}{sin}^{n-1}sinxdx\), ahora tomamos \(u={sin}^{n-1}x\) y derivamos \(u\) respecto de \(x\), \(\frac{d[{sin}^{n-1}]}{dx}=\left(n-1\right){sin}^{n-2}xcosx\) de donde despejamos el diferencial \(du\), \(du=\left(n-1\right){sin}^{n-2}xcosxdx\) y integrando \(dv\) obtenemos el valor de \(v\), \(v=\int_{}sinxdx=-cosx\), y ya solo resta sustituir \(u\), \(v\) y \(du\) en la fórmula de integración por partes y ya lo demás es cuestión de simplificación.


Hallar las siguientes integrales usando la fórmula deducida en el ejemplo 4

Ejemplo 1
\(\int_{}{sin}^{2}xdx\)
Bueno simplemente tomamos el exponente como \(n=2\), y procedemos a sustituir en la fórmula deducida en el ejemplo 4.

Ejemplo 2
\(\int_{}{sin}^{3}xdx\)
Al igual que en el ejemplo 1, tomamos el exponente como \(n=3\), y hacemos la sustitución en la fórmula que obtuvimos en el ejemplo 4.

Vea también
Reglas básicas de derivación e integración
Determinación del área de un triángulo,un rectángulo y un trapecio usando integrales definidas
Cálculo integral y fórmulas del movimiento rectilíneo

viernes, 3 de junio de 2016

Simplificación de expresiones que contienen potencias

En este post vamos a analizar aquellas expresiones que matemáticas que contienen potencia, ofreciendo algunos ejemplos de como simplificar una expresión algebraica o numérica que contiene todo o algunos de sus términos sometidos bajo una operación de potencia, debemos decir que aún las raíces de un número o una expresión algebraica son potencias cuyos exponentes son fraccionarios, un ejemplo de ello es \(\sqrt{x}\) que puede ser expresado como \({x}^{\frac{1}{2}}\).
Es  muy útil saber que una raíz se puede expresar como una potencia, ya que si necesitáramos calcular la raíz enésima de un numero \(x\) pero la tecla del aparato que vamos a utilizar tiene esta tecla dañada o simplemente no tiene esta tecla pero si tiene la tecla de elevar a una potencia dada, pues \(\sqrt{2}\) es lo mismo que elevar \(2\) a la \(\frac{1}{2}\) o a la \(0.5\) es decir \(\sqrt{2}={2}^{0.5}\), bueno dicho todo esto vamos sin ningún preámbulo a ver como simplificar expresiones matemáticas con potencias.
Simplificar las siguientes expresiones con potencias.
\(\begin{align*}&1)\:\:\frac{{2}^{4}}{2}= \\  &2)\:\:{\left(-1\right)}^{3}= \\ &3)\:\:{\left(2\right)}^{-2}= \\ &4)\:\:\frac{2}{{2}^{\frac{1}{2}}}= \\ &5)\:\:{\left({\left({\left({3}^{2}\right)}^{2}\right)}^{2}\right)}^{2}= \\ &6)\:\:{x}^{m+n}\cdot {x}^{m-n}= \\ &7)\:\:\frac{{a}^{3}-{b}^{3}}{a-b}= \\ &8)\:\:\left({m}^{3}-{n}^{3}\right)\cdot\left({m}^{3}+{n}^{3}\right)= \\ &9)\:\:{\left(-1\right)}^{n}=\:\: \textrm{si n es par} \\ &10)\:\:{\left(-1\right)}^{n}=\:\:  \textrm{si n es impar} \\ &11)\:\:\left({3}^{2}\right)\cdot\left({3}^{2}\right)= \\ &12)\:\:{\left(2x{10}^{-2}\right)}^{2}= \\ &13)\:\:{\left(w-v\right)}^{2}= \\ &14)\:\:{\left(w+v\right)}^{2}= \\ &15)\:\:\frac{{{m}^{2}}\cdot {{n}^{3}}}{{{m}^{4}}\cdot {{n}^{4}}}=\end{align*}\)
Ejemplo 1
\(\begin{align*}&1)\:\:\frac{{2}^{4}}{2}=\end{align*}\)
Para solucionar este ejercicio aprovecharemos el hecho de que la división de dos potencias con igual base y iguales o diferentes exponentes es igual a la base elevada al exponente que va a ser igual al exponente del numerador menos el exponente del denominador es decir si \(a\) es la base y \(m\) y \(n\) los exponentes del numerador y denominador respectivamente entonces se cumple que : \(\frac{{a}^{m}}{{a}^{n}}={a}^{m-n}\).
\(a=2\:\:\:m=4\:\:\:n=1\)
\(\frac{{2}^{4}}{2}={2}^{4-1}\)
\({2}^{4-1}={2}^{3}\)
\({2}^{3}=8\)
Ejemplo 2
\(2)\:\:{\left(-1\right)}^{3}=\)
Este ejercicio lo podemos resolver aplicando la regla que establece que todo número negativo que es elevado a una potencia impar igual al negativo del número elevado a dicha potencia es decir si \(-a\) es la base de una potencia cuyo exponente es \(n\) entonces se cumple que \(\left({-a}\right)^{n}=-{a}^{n}\)
\(a=-1\:\:\:n=3\)
\({\left(-1\right)}^{3}=-{1}^{3}\)
\(-{1}^{3}=-1\)
Aunque este ejercicio lo hubiésemos podido resolver usando la forma tradicional, multiplicando el \(-1\) tres veces.
\({\left(-1\right)}^{3}=\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)\)
\(\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)=\left(1\right)\left(-1\right)\)
\(\left(1\right)\left(-1\right)=-1\)
Ejemplo 3
\(\begin{align*}&3)\:\:{\left(2\right)}^{-2}\end{align*}\)
Este ejercicio lo vamos a resolver simplemente aplicando el principio matemático que establece que si una base está elevada a un exponente negativo, para transformar este exponente en positivo lo colocamos en el denominador de una fracción si este se encuentra en el numerador y viceversas si este se encuentra en el denominador es decir \(\left(a\right)^{-m}=\frac{1}{{a}^{m}}\) ó \(\frac{1}{{a}^{-m}}={a}^{m}\) por lo que:
\(a=2\:\:\:m=2\)
\(\begin{align*}&{\left(2\right)}^{-2}=\frac{1}{{2}^{2}} \\ &\frac{1}{{2}^{2}}=\frac{1}{4}\end{align*}\)
Ejemplo 4
\(\begin{align*}&4)\:\:\frac{2}{{2}^{\frac{1}{2}}}\end{align*}\)
Al igual que en el ejercicio 3, para resolver este ejercicio copiamos la base y restamos los exponentes.
\(\begin{align*}&\frac{2}{{2}^{\frac{1}{2}}} \\ &\frac{2}{{2}^{\frac{1}{2}}}={2}^{1-\frac{1}{2}} \\ &{2}^{1-\frac{1}{2}}={2}^{\frac{1}{2}} \\ &\frac{2}{{2}^{\frac{1}{2}}}={2}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\end{align*}\)
Ejemplo 5
\(5)\:\:{\left({\left({\left({3}^{2}\right)}^{2}\right)}^{2}\right)}^{2}=\)
Para solucionar este ejercicio vamos a aplicar la regla que establece que una potencia de una potencia es igual a la base de la potencia con los exponentes multiplicados es decir \({\left({\left(a\right)}^{m}\right)}^{n}={a}^{m\cdot n}\), aplicaremos este mismo concepto para simplificar el ejercicio 5.
\({\left({\left({\left({3}^{2}\right)}^{2}\right)}^{2}\right)}^{2}\)
\({\left({\left({\left({3}^{2}\right)}^{2}\right)}^{2}\right)}^{2}={3}^{2\cdot2\cdot2\cdot2}\)
\({3}^{2\cdot2\cdot2\cdot2}={3}^{16}\)
\({3}^{16}=43046721\)
Ejemplo 6
\(6)\:\:{x}^{m+n}\cdot {x}^{m-n}=\)
Vamos a simplificar esta expresión utilizando la regla que establece que el producto de dos potencias con misma bases y con igual o diferentes exponentes es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.
Sea \(z\) la base de dos potencias con exponentes \(a\) y \(b\), entonces se cumple que \({z}^{a}\cdot{z}^{b}={z}^{a+b}\), aplicando esta misma regla a la simplificación del ejemplo 6 vamos a tener que :
\(\begin{align*}&{x}^{m+n}\cdot {x}^{m-n} \\ &{x}^{m+n}\cdot {x}^{m-n}={x}^{\left(m+n\right)+\left(m-n\right)} \\ &{x}^{\left(m+n\right)+\left(m-n\right)}={x}^{2m} \\ &{x}^{m+n}\cdot {x}^{m-n}={x}^{2m}\end{align*}\)
Ejemplo 7
\(\begin{align*}&7)\:\:\frac{{a}^{3}-{b}^{3}}{a-b}=\end{align*}\)
Para simplificar esta expresión lo primero que haremos es factorizar el numerador y como se puede observar el numerador es la diferencia de cubos de dos cantidades , factorizando \({a}^{3}-{b}^{3}\) vamos a tener que :
\(\begin{align*}&{a}^{3}-{b}^{3}=\left(a-b\right)\cdot\left({a}^{2}+a\cdot b +{b}^{2}\right) \end{align*}\)
Ya habiendo factorizado el numerador procedemos a simplificar.
\(\begin{align*}&\frac{{a}^{3}-{b}^{3}}{a-b}= \\ &\frac{{a}^{3}-{b}^{3}}{a-b}=\frac{\left(a-b\right)\cdot\left({a}^{2}+a\cdot b +{b}^{2}\right)}{a-b} \\ &\frac{\left(a-b\right)\cdot\left({a}^{2}+a\cdot b +{b}^{2}\right)}{a-b}={a}^{2}+a\cdot b +{b}^{2} \\ & \end{align*}\)
Ejemplo 8
\(8)\:\:\left({m}^{3}-{n}^{3}\right)\cdot\left({m}^{3}+{n}^{3}\right)\)
El ejemplo 8 es un modelo de lo que es un producto notable conocido como el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades que es igual a la diferencia de cuadrados de ambas cantidades, sean \(a\) y \(b\) dos cantidades entonces se cumple que \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)={a}^{2}-{b}^{2}\), usando este principio aplicado al ejemplo 8 vamos a tener que :
 \(a={m}^{3}\:\:\:b={n}^{3}\)
\(\left(a-b\right)\left(a+b\right)={a}^{2}-{b}^{2}\)
\({a}^{2}-{b}^{2}={\left({m}^{3}\right)}^{2}-{\left({n}^{3}\right)}^{2}\)
\(\left({m}^{3}-{n}^{3}\right)\left({m}^{3}+{n}^{3}\right)={\left({m}^{3}\right)}^{2}-{\left({n}^{3}\right)}^{2}\)
\(\left({m}^{3}-{n}^{3}\right)\left({m}^{3}+{n}^{3}\right)={m}^{3\cdot2}-{n}^{3\cdot2}\)
\(\left({m}^{3}-{n}^{3}\right)\left({m}^{3}+{n}^{3}\right)={m}^{6}-{n}^{6}\)
Ejemplo 9
\(9)\:\:{\left(-1\right)}^{n}=\)    si \(n\) es par
Este ejercicio lo podemos simplificar manualmente es decir imaginemos que \(n\) es igual a el número par 2, entonces
\({\left({-1}\right)}^{n}\)
\(n=2\)
\({-1}^{2}=\left(-1\right)\left(-1\right)\)
\(\left(-1\right)\left(-1\right)=1\)
Ahora probamos con \(n=4\)
\({\left({-1}\right)}^{n}\)
\(n=4\)
\({\left(-1\right)}^{4}=\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)\)
\(\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)=\left(1\right)\left(1\right)\)
\(\left(1\right)\left(1\right)=1\)
Y como se puede observar que \({\left(-1\right)}^{n}=1\) para cualquier número n que sea par
Ejemplo 10
\(10)\:\:{\left(-1\right)}^{n}=\)    si \(n\) es impar
Al igual que la simplificación anterior vamos mediante el análisis manual a obtener la simplificación del ejemplo 10, así que probaremos los resultados para algunos valores impares de  \(n\), por ejemplo si \(n=3\) entonces.
\({\left(-1\right)}^{n}\)
\(n=3\)
\({\left(-1\right)}^{3}=\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)\)
\(\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)=\left(1\right)\left(-1\right)\)
\(\left(1\right)\left(-1\right)=-1\)
\({\left(-1\right)}^{3}=-1\)
Ahora si tomamos otro número impar \(n=5\) vamos a tener que :
\({\left(-1\right)}^{n}\)
\(n=5\)
\({\left(-1\right)}^{5}\)
\(\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)\)
\(\left(1\right)\left(1\right)\left(-1\right)\)
\(\left(1\right)\left(-1\right)\)
\({\left(-1\right)}^{5}=\left(1\right)\left(-1\right)=-1\)
Y si continuamos con este proceso nos daremos cuenta que \({\left(-1\right)}^{n}=-1\) para cualquier valor de \(n\) que sea impar.
Ejemplo 11
\(11)\:\:\left({3}^{2}\right)\cdot\left({3}^{2}\right)=\)
Para hacer esta simplificación usaremos la regla que establece que \({x}^{a}\cdot{x}^{b}={x}^{a+b}\), por tanto :
\({x}^{a}\cdot{x}^{b}={x}^{a+b}\)
\(x=3\:\:\:a=b=2\)
\(\left({3}^{2}\right)\cdot\left({3}^{2}\right)={3}^{2+ 2}\)
\(\left({3}^{2}\right)\cdot\left({3}^{2}\right)={3}^{4}\)
\(\left({3}^{2}\right)\cdot\left({3}^{2}\right)=81\)
Ejemplo 12
\(12)\:\:{\left(2x{10}^{-2}\right)}^{2}=\)
Como se puede ver este ejemplo no es más que la potencia de un producto, por lo que aprovecharemos la propiedad que establece que la potencia es distributiva con respecto a la multiplicación es decir \({\left({a\cdot b}\right)}^{n}={a}^{n}\cdot{b}^{n}\), aplicando esta propiedad al ejemplo 12 vamos a tener que :
\({\left(2x{10}^{-2}\right)}^{2}={2}^{2}x{\left({10}^{-2}\right)}^2\)
\(4x{10}^{-2\cdot 2}=4x{10}^{-4}\)
\({\left(2x{10}^{-2}\right)}^{2}=4x{10}^{-4}\)
Ejemplo 13
\(13)\:\:{\left(w-v\right)}^{2}=\)
La solución de este ejercicio es bastante fácil ya que se trata del cuadrado de la diferencia de dos cantidades que es igual al cuadrado de la primera cantidad menos dos veces la primera por la segunda cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad.
Aplicando esta teoría a la simplificación del ejemplo 13 vamos tener que \(w\) es la primera cantidad y \(v\) la segunda por lo que vamos a tener que :
\({\left(w-v\right)}^{2}={w}^{2}-2w\cdot v+{v}^{2}\)
Ejemplo 14
\(14)\:\:{\left(w+v\right)}^{2}=\)
Este ejemplo corresponde al cuadrado de la suma de dos cantidades que va a ser igual al cuadrado de la primera cantidad más dos veces la primera por la segunda cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad, si tenemos que \(w\) es la primera cantidad y \(v\) la segunda cantidad entonces la simplificación de ejemplo 14 aplicando esta teoría es.
\({\left(w+v\right)}^{2}={w}^{2}+2w\cdot v+{v}^{2}\)
Ejemplo 15
\(\begin{align*}&15)\:\:\frac{{{m}^{2}}\cdot {{n}^{3}}}{{{m}^{4}}\cdot {{n}^{4}}}=\end{align*}\)
Primero observamos que \(m\) aparece tanto en el numerador como el denominador del cociente indicado del ejemplo 15 y lo mismo pasa con \(n\), por lo que tanto para \(m\) como para \(n\) aplicaremos la regla que establece \(\frac{{z}^{a}}{{z}^{b}}={z}^{a-b}\).
\(\begin{align*}&\frac{{{m}^{2}}\cdot {{n}^{3}}}{{{m}^{4}}\cdot {{n}^{4}}}= \\ &\frac{{{m}^{2}}\cdot {{n}^{3}}}{{{m}^{4}}\cdot {{n}^{4}}}={m}^{2-4}{n}^{3-4} \\ &\frac{{{m}^{2}}\cdot {{n}^{3}}}{{{m}^{4}}\cdot {{n}^{4}}}={m}^{-2}{n}^{-1}\end{align*}\)
Ahora eliminamos los exponentes negativos transponiendo el numerador en el denominador.
\(\begin{align*}&\frac{{{m}^{2}}\cdot {{n}^{3}}}{{{m}^{4}}\cdot {{n}^{4}}}=\frac{1}{{m}^{2}{n}^{1}} \\ &\frac{{{m}^{2}}\cdot {{n}^{3}}}{{{m}^{4}}\cdot {{n}^{4}}}=\frac{1}{{m}^{2}n}\end{align*}\)
Vea también
Cocientes notables
Productos notables
Propiedades y operaciones en los conjuntos numéricos
Simplificación de expresiones radicales