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viernes, 8 de julio de 2016

Volumen de una pirámide


Bueno en este artículo vamos a estar abordando el tema de geometría de cuerpos sólidos como lo es la pirámide, debemos decir que el conocimiento de este sólido se remonta a los tiempos de los antiguos Sumerios, Egipcios y Mayas quienes dominaban de manera empírica los cálculos que tienen que ver con la construcción de pirámides, aunque no sé si llamarle conocimiento empíricos ya que gracias a estas culturas antiguas es que los griegos y el mundo contemporáneo conocemos de los elementos geométricos de esta figura.
El volumen de una pirámide es igual al producto del área de la base y la altura de la pirámide partido tres .
Sea \(A\) el área de la base y \(H\) la altura de una pirámide entonces el volumen \(V\) es:

Pero como es costumbre en este blog vamos a través de un ejemplo a investigar como deducir la fórmula para el cálculo del volumen de una pirámide, para este propósito vamos a usar un poco de cálculo integral y de geometría diferencial, pero antes que todo vamos a navegar a través de la pirámide.
Vamos a calcular el Volumen \(V\) de una pirámide con base cuadrada que tiene por lado \(L\) y cuya altura es \(H\), y usaremos técnicas de integración para calcular este volumen y luego demostraremos que este volumen es el mismo que si se hubiera usado directamente la fórmula.

Para inicial los cálculos vamos a guiarnos de la siguiente gráfica que detalla los elementos de la pirámide que utilizaremos en nuestros análisis.

Lo primero que vamos a hacer es determinar las ecuaciones de las rectas \({l}_{1}\) y \({l}_{2}\), sabiendo como así muestra la gráfica que la recta \({l}_{1}\) pasa por los puntos \(\left(\frac{L}{2},0\right)\) y \(\left(0,H\right)\) y la recta \({l}_{2}\) pasa por los puntos \(\left(-\frac{L}{2},0\right)\) y \(\left(0,H\right)\), por tanto las ecuaciones de la rectas son.

Ahora despejamos la variable \(x\) de ambas ecuaciones.

Si nos fijamos en la gráfica del esqueleto de la pirámide de más arriba, el volumen diferencial del cuadrado rojo con área \(dA\) y altura \(dy\) es \(dV=dA\cdot dy\), por lo que utilizaremos esta expresión diferencial para calcular el volumen de la pirámide, para esto la integraremos desde un intervalo de \(y\) que va desde \(y=0\) hasta \(y=H\), pero \(dA={L}^{2}\) y .\(L\) en función de \(y\) es \(L\left(y\right)={x}_{2}-{x}_{1}\), por tanto.

Conociendo \(dA\) ya podemos reescribir la ecuación diferencial que nos permitirá calcular el volumen de la pirámide \(dV=dA\cdot dy\).

Para continuar el proceso de integración nos avocaremos a hacer un cambio de variable ya que sería un poco más tedioso si desarrollamos el binomio \(y-H\), asi que tomaremos \(u=y-H\), y \(\frac{du}{dy}=1\) por tanto \(du=dy\), y también reescribiremos el intervalo de integración, todo esto se muestra a continuación.

Y como se puede observar el volumen de una pirámide con base cuadrada de lado \(L\) y altura \(H\) es.

Y como se observa en esta fórmula \({L}^{2}\) es igual al área de la base \(A\), por lo que si sustituimos \({L}^{2}\) por \(A\), tendremos la misma fórmula dada al principio de este artículo que es.

Vea también
Ecuación de la recta y sus particularidades
Reglas básicas de derivación e integración
Cambio de variable-Técnica de integración
Despeje de una variable de una fórmula u ecuación