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viernes, 26 de agosto de 2016

Lanzamientos de la jabalina, el martillo y la bala ¿Quién debería ganar en estas disciplinas olímpicas desde el punto de vista físico-matemático?

A propósito de los recién juegos olímpicos realizados en Brasil, en este post queremos traer a colación las disciplinas olímpicas como son los lanzamientos de la jabalina, el martillo y la bala.
En que consisten estas disciplina olímpicas
Estas disciplinas consisten en lanzar al aire la jabalina, el martillo y la bala, de manera que estos alcancen la mayor distancia horizontal posible cuando entran en contacto con la tierra.
Ya que estas tienen en común el hecho de que la jabalina, el martillo y la bala se convierte en proyectiles una vez abandonan las manos de los atletas, por este motivo se podría decir que el atleta que hace un lanzamiento con la velocidad y el ángulo apropiado es potencialmente el ganador.
En el mundo de la física para el movimiento de proyectiles en caídas libres sabemos que existe un ángulo óptimo al cual un objecto alcanza un recorrido horizontal máximo, y no solo existe sino que también puede ser calculado.

Sabemos que en la tierra a diferencia de otros planetas en donde no hay aire, los objectos lanzados experimentan cierta resistencia, por este motivo si en las disciplinas que nos ocupa hay dos atletas que se están debatiendo la medalla dorada se puede dar la situación de que los dos atletas lancen sus proyectiles a la misma velocidad inicial pero que uno haya tenido la fortuna de que la resistencia del aire sea mínima y por tanto lo que hubiera sido un empate se transforme en una victoria para uno y una derrota para otro.
Claro está, esto es así si en estas solo se considerada al atleta que consigue lanzar el objecto hasta una distancia mayor como el ganador.
Ahora bien si imaginamos que estos atletas hubieran hecho ese lanzamiento en un planeta x con la misma gravedad que la tierra pero con ausencia de aire entonces estos hubieran quedado empate.
Por lo que a la hora de hacer una definición en materia de los objetivos es importante la velocidad inicial con que se lanza una jabalina, el martillo y la bala, pero si a esto le agregamos un ángulo de lanzamiento optimo, evidentemente el atleta que logra combinar estos dos detalles de manera eficiente es el potencial vencedor.
La siguiente gráfica muestra el lanzamiento de tres jabalinas al aire con la misma velocidad inicial \({v}_{0}\) y con ángulos de lanzamientos \(\theta\) , \({\theta}_{1}\) , \({\theta}_{2}\), que alcanzan las distancias \(R\) , \({R}_{1}\) , \({R}_{2}\) respectivamente al tocar el suelo.

Esta gráfica demuestra sin lugar a ninguna duda que el ángulo al que se lanza una jabalina, una bala y un martillo es bien importante si se quiere alcanzar una distancia grande, desde el punto de vista de esta gráfica el ángulo al que se lanza una jabalina puede significar la pérdida o la ganancia en estas disciplinas olímpicas.
Si \(x\) es la posición a la que un proyectil se encuentra en su máxima altura, entonces \(r\) representará el doble de esta distancia horizontal, tal como se muestra en la siguiente gráfica.

Bueno y sabiendo esto, usando las ecuaciones del movimiento en dos dimensiones vamos a calcular el ángulo que se acerca de manera más precisa al ángulo óptimo.
Para esto usaremos la ecuación que describe el movimiento en el eje horizontal \(x\), y el eje vertical \(y\), luego despejaremos el tiempo en la ecuación para el eje \(x\) y este despeje lo sustituiremos en el eje \(y\), y de esta manera obtendremos una expresión matemática que nos dará \(y\) en función de la posición \(x\), luego mediante derivadas hallaremos el punto máximo de \(y\left(x\right)\), que significará la altura máxima que alcanza un proyectil en cada lanzamiento y como esta función es simétrica respecto a un eje que pasa verticalmente por el punto de máxima altura, entonces sabemos que la distancia máxima es dos veces la distancia que hay desde que se lanza la jabalina hasta que alcanza el punto de máxima altura. Como nota esta distancia no representa la distancia a la que la jabalina toca el suelo sino más bien la distancia a la que la jabalina vuelve a estar a la misma altura desde la que inició su movimiento, todos los detalles de estos cálculos se muestran a continuación.
Las ecuaciones que representa el movimiento en los ejes \(x\) e \(y\) son:

Despejamos \(t\) en la ecuación \(x={v}_{0}cos \left(\theta \right)\dot t\) y sustituimos este despeje en la ecuación que representa el movimiento en \(y\).

Ahora derivamos \(y\) en función de \(x\) e igualamos el resultado a cero, para despejar el valor de \(x\) al que \(y\) es máxima.


Y como \(x\) representa la mitad del recorrido horizontal, multiplicaremos \(x\) por 2, para obtener así el recorrido horizontal \(r\) desde que la jabalina, el martillo o la bala salieron de las manos del atleta hasta el momento en que vuelven a estar en la misma posición simplemente multiplicamos por dos el valor de \(x\).

Como sabemos que la función seno es máxima cuando el ángulo es de 90º, entonces \(2\theta = {90}^{\circ}\) despejamos \(\theta\) y el resultado es \(\theta = \frac{{90}^{\circ}}{2}={45}^{\circ}\), y por fin el resultado, \(r\) es máximo cuando el ángulo es de 45º.
El ángulo apropiado para que un atleta de la jabalina, el martillo y la bala consiga un mayor alcance o distancia en cada lanzamiento es 45 grados respecto a su horizontal.
En conclusión si un atleta consigue imprimirle la mayor velocidad inicial \({v}_{0}\) a una jabalina, un martillo o una bala, y además de esto logra lanzar con un ángulo de 45 grados sin lugar a ninguna duda este atleta es el que conseguirá alcanzar una mayor distancia horizontal en cada lanzamiento.
Vea también
Movimiento de proyectiles
Resistencia y movimiento de caída libre
Reglas básicas de derivación
Despeje de una variable

jueves, 11 de agosto de 2016

Método de los incrementos-Técnica de derivación

El método de los incrementos es interesante, ya que de este método se derivan las técnicas de derivación más simplificadas, así que en este post vamos a vislumbrar como derivar una función dada de forma explícita es decir \(y=f\left(x\right)\), para un buen entendimiento de este artículo se hace necesario conocer la teorías de límites.
Bueno y la derivada de una función \(y\) se define matemáticamente así.

Dicho con palabras la derivada de una función dependiente \(y\) respecto de una variable independiente \(x\), es la tasa de cambio de \(y\) respecto de \(x\) cuando el incremento o diferencial \(\Delta x\) tiende a cero.
Así que sabiendo esto vamos a ver algunos ejemplos de como aplicar la definición de derivada para el cálculo de estas.

Ejemplo 1
Para el ejemplo 1 incrementamos la función \(y\left ( t \right )\) es decir \(y\left ( \Delta t+t \right )\) que va corresponder al valor final y a este valor le restamos el valor inicial que es \(y\left ( t \right )\), luego dividimos ambos miembros de la igualdad entre \( \Delta t \) y aplicamos el límite cuando \(\Delta t\) tiende a cero todo este proceso se muestra continuación.

Ejemplo 2
Antes de proceder a aplicar el método de los incrementos vamos a multiplicar por \(x\) ambos lados de la igualdad de la función \(y=\frac{1}{x}\) para tener \(y\cdot x = 1\), y de esta manera obtener la derivada implícitamente, hecho esto incrementamos las variables \(y\) e \(x\) a la expresión resultante le restamos la expresión no incrementada es decir \(y\cdot x = 1\), luego dividimos ambos miembros de la igualdad entre \(\Delta x\) y aplicamos límites cuando \(\Delta x\) tiende a 0, todo este procedimiento se aplica a continuación.

Y hacemos un paréntesis antes de aplicar límites  para encontrar una expresión ideal para la expresión no fraccionaria \(\Delta y\), para esto tomamos como referencia la expresión incrementada de  \(y\cdot x = 1\) es decir \(\left(\Delta y + y\right)\cdot \left(\Delta x + x\right) = 1\).

Ahora sustituimos este valor de \(\Delta y\) y continuaremos con la simplificación.

Ahora estamos preparados para reemplazar \(y\) por \(\frac{1}{x}\).

Y ya lo único que nos resta es despejar \(\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x}\).

Y la derivada de \(y=\frac{1}{x}\) es entonces.

Ejemplo 3
Al igual que en los ejercicios anteriores incrementamos la función original \(f\left(c\right)=m\cdot {c}^{2}\) es decir \(f\left(\Delta c + c\right)=m\cdot {\left(\Delta c +c\right)}^{2}\), y a esta expresión le restamos la expresión inicial \(f\left(c\right)=m\cdot {c}^{2}\), luego dividimos ambos miembros de la igualdad entre \(\Delta c\), simplificamos y luego aplicamos límites a ambos lados de la igualdad como se muestra ahora.

y la derivada de \(f\left(c\right)=m\cdot {c}^{2}\) es
\(f'\left(c\right)=2mc\)
Ejemplo 4
Para encontrar la derivada del ejemplo 4, lo primero que haremos es incrementar las variables \(y\) e \(x\) en \(\Delta x\) y \(\Delta y\) respectivamentes es decir
\(y+\Delta y=\left(x+\Delta x\right)\cdot \sqrt{x+\Delta x}\)
A este resultado les restaremos la función original \(y=x\cdot \sqrt{x}\), todo este proceso se muestra a continuación.

Para continuar aplicamos límites a ambos lados de la igualdad.

\(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\) es igual a la derivada de \(y\) respecto de \(x\).
Ahora bien la expresión.

no puede ser simplificada tal como está, ya que la división por cero no está definida, así que para aplicar el límite vamos primero a racionalizar el numerador, multiplicando tanto el numerador como el denominador por el conjugado del numerador.

Y ya lo único que nos falta es simplificar que es exactamente lo que haremos.

Y la derivada de \(y=x\cdot \sqrt{x}\) es

Vea también
Reglas básicas de derivación
Despeje de una variable de una fórmula