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jueves, 29 de septiembre de 2016

Unidades de medida de un ángulo

En este post vamos a estar hablando de las unidades de medidas que se utilizan para medir un ángulo. Y como muchos ya saben un ángulo se mide en grados (\({}^{\circ{}}\)) tal como se muestra en los siguientes ejemplos.
\({45}^{\circ{}}\)
\({60}^{\circ{}}\)
\({90}^{\circ{}}\)
Los ángulos también se miden en radianes tal como se muestra en los siguientes ejemplos
\(2\pi rad\)
\(10 rad\)
\(20 rad\)
También los ángulos se miden en revoluciones siendo una revolución igual a \(2\pi rad={360}^{\circ{}}\), ejemplos.
\(2rev\)
\(10rev\)
\(2\pi rev\)
Equivalencia de medida de ángulos
Bueno como mucho sabemos una unidad de medida particular puede ser equivalente a otra medida particular ejemplos.
\(1rad=\frac{{360}^{\circ{}}}{2\pi}={57.3}^{\circ{}}\)
\(1rev =2\pi rad\)
\(1rad=\left(\frac{1}{2\pi}\right) rev=0.159rev\)
\(1rev={360}^{\circ{}}\)
Ahora bien los ángulos también pueden ser expresados en grados (\({}^{\circ{}}\)), minutos (\({}^{'}\)) y segundos (\({}^{"}\)), ejemplos.
\({x}^{\circ{}}\:\:{y}^{'}\:\:{z}^{"}\)
\({30}^{\circ{}}\:\:{10}^{'}\:\:{25}^{"}\)
\({0}^{\circ{}}\:\:{35}^{'}\:\:{40}^{"}\)
\({180}^{\circ{}}\:\:{30}^{'}\:\:{0}^{"}\)
Debemos decir que un grado tiene 60 minutos, y que un minuto tiene 60 segundos, y que además un grado tiene 3600 segundos:
\({1}^{\circ{}}=60'\)
\({1}^{\circ{}}={3600}^{"}\)
\(1'={60}^{"}\)
Operaciones de suma y resta de un ángulo
¿Como sumamos dos ángulos expresados en grados, minutos y segundos?
.1-- Para sumar dos ángulos que están expresado en grados, minutos y segundos, sumamos grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos tal como se muestra en el ejemplo.
\({20}^{\circ{}}\:{34}^{'}\:{08}^{"}+{10}^{\circ{}}\:{20}^{'}\:{12}^{"}=\)

Ahora bien cuando sumamos los segundos y esta suma es mayor o igual a \({60}^{"}\) entonces dividimos el resultado de esta suma entre 60, el residuo de esta división la colocamos en la posición donde están los segundos, y el cociente se los sumamos a los minutos, pero también si la suma de los minutos es mayor o igual a \({60}^{'}\), entonces dividimos el resultado de esta suma entre 60, el residuo de esta división lo colocaremos en la misma posición de los minutos y el cociente se lo sumaremos a los grados, veamos algunos ejemplos de este tipo.
\({15}^{\circ{}}\:{34}^{'}\:{49}^{"}+{10}^{\circ{}}\:{20}^{'}\:{15}^{"}=\)

\({15}^{\circ{}}\:{55}^{'}\:{30}^{"}+{10}^{\circ{}}\:{21}^{'}\:{15}^{"}=\)

\({35}^{\circ{}}\:38'\:{50}^{"}+{10}^{\circ{}}\:30'\:{17}^{"}=\)

¿Como restamos dos ángulos expresados en grados, minutos y segundos?
1-- Al igual que con la suma, para restar dos ángulos expresados en grados, minutos y segundos, a los segundos les restamos los segundos, a los minutos les restamos los minutos y a los grados les restamos los grados, como se muestra en el ejemplo.
\({09}^{\circ{}}\:40'\:{55}^{"}+{03}^{\circ{}}\:37'\:{11}^{"}=\)

Pero cuando los segundos del minuendo son menores que los del sustraendo, les tomamos prestado un minuto o 60 segundos a los minutos del minuendo y se los sumamos a los segundos del minuendo y luego efectuamos la resta, y si también los minutos del minuendo son menores que los minutos del sustraendo, tomamos un grado o 60 minutos del minuendo y se lo sumamos a los minutos del minuendo y luego efectuamos la resta, veamos algunos ejemplos con estas características.
\({25}^{\circ{}}\:50'\:{05}^{"}+{03}^{\circ{}}\:37'\:{11}^{"}=\)

\({25}^{\circ{}}\:22'\:{52}^{"}+{13}^{\circ{}}\:44'\:{31}^{"}=\)

\({25}^{\circ{}}\:20'\:{10}^{"}+{13}^{\circ{}}\:44'\:{31}^{"}=\)

Veamos algunos ejercicios relacionados con este tema.
1** Si un ángulo mide \({75200}^{"}\) segundos.¿A cuánto grados, minutos y segundos equivale este ángulo?
Solución:
Como \(1'={60}^{"}\), dividimos \({75200}^{"}\) entre 60, y la división la detenemos cuando el residuo sea menor que 60.

Entonces \({75200}^{"}=1253'\:{20}^{"}\), así que ahora los \(1253'\) minutos los dividiremos entre 60, ya que \({1}^{\circ{}}=60'\).

Por tanto \(1253'\:{20}^{"}={20}^{\circ{}}\:53'\:{20}^{"}\), entonces un ángulo de \({75200}^{"}\) es igual a \({20}^{\circ{}}\:53'\:{20}^{"}\).
2** ¿A cuántas revoluciones (\(rev\))  equivale un ángulo de \({9970}^{\circ{}}\)?
Solución:
Como \(1rev={360}^{\circ{}}\), simplemente multiplicamos \({9970}^{\circ{}}\) por \(\frac{1rev}{{360}^{\circ{}}}\) es decir.
\(\left({9970}^{\circ{}}\right)\cdot \left(\frac{1rev}{{360}^{\circ{}}}\right)=27.69rev\)
3** ¿A cuánto radianes equivale \({1900}^{\circ{}}\)?
Solución:
Como \(1rad={57.3}^{\circ{}}\), y si dos cantidades son iguales y diferente de cero entonces su división es igual a uno, por tanto \(\frac{1rad}{{57.3}^{\circ{}}}=1\), y la propiedad del elemento neutro de la multiplicación establece que cualquier cantidad multiplicada por 1 es igual a la misma cantidad por tanto.
\({1900}^{\circ{}}=\left({1900}^{\circ{}}\right)\left(\frac{1rad}{{57.3}^{\circ{}}}\right)=\)
\(\frac{{1900}^{\circ{}}\cdot 1rad}{{57.3}^{\circ{}}}=33.16rad\)
Vea también
Conversión de medidas 
Estándares y unidades

viernes, 23 de septiembre de 2016

La cuña - Volumen y área de superficie total

En este post les dedicaremos una atención especial al cuerpo sólido conocido como cuña.

Volumen de una cuña
Como la cuña es un prisma y tiene dos caras paralelas con misma área \(A\) el volumen de una cuña es igual al área de una cara \(A\) multiplicada por la distancia a que se encuentran separada \(b\), es decir el volumen matemáticamente de un cuerpo con esta característica es \(V=A\cdot b\), bueno y como el sólido que nos interesa es la cuña, sabemos que está compuesta por dos cara paralela que tienen área \(A\) y la distancia que separa esta dos caras como se muestra en la cuña mostrada mas arriba es \(b\), por tanto el volumen de una cuña es igual a.
$$V=A\cdot b$$
Ah pero la cara de una cuña tiene forma triangular y sabemos que el área de un triángulo es \(A=\frac{B\cdot H}{2}\), si tomamos \(B=a\) y \(H=h\), el área de la base triangular de la cuña dada en el gráfico de arriba es.
$$A=\frac{a\cdot h}{2}$$
Si sustituimos \(A\) en \(V=A\cdot b\) entonces.

Y el volumen de una cuña con las características dada en la gráfica al principio de este artículo es.
$$V=\frac{1}{2}\left(a\cdot b\cdot h\right)$$
Esta fórmula muestra que el volumen de una cuña es igual a la mitad del producto del ancho, el largo y la altura.
Si el largo \(a\), el ancho \(b\) y el alto \(h\) son iguales es decir \(a=b=h=L\), entonces el volumen de esta cuña es.
$$V=\frac{{L}^{3}}{2}$$
Área de superficie total de una cuña
Como se puede ver en el esqueleto de la cuña de la siguiente imagen , la cuña tiene 5 caras, dos caras iguales con formas triangulares, y tres rectángulos.

Si las dos caras con formas triangulares tienen área \({A}_{t}\), y las otras tres caras rectángulares tienen áreas \({A}_{1}\), \({A}_{2}\) y \({A}_{3}\), entonces el área de superficie total de una cuña es.
$${A}_{total}=2\cdot {A}_{t}+{A}_{1}+{A}_{2}+{A}_{3}$$
Si \({A}_{t}=\frac{a\cdot h}{2}\) , \({A}_{1}=b\cdot h\), \({A}_{2}=a\cdot b\) , \({A}_{3}=b\cdot z\), entonces el área de superficie total va ha ser igual a:

Pero como \(z=\sqrt{{a}^{2}+{h}^{2}}\), el área de superficie total de una cuña es.

Pero si el largo \(a\), el ancho \(b\) y el alto \(h\) son iguales, es decir \(a=b=h=L\), entonces el área de superficie total de una cuña es.

El área de superficie total de una cuña en donde sus tres dimensiones miden \(L\) unidades es.
$${A}_{total}=\left(3+\sqrt{2}\right)\cdot {L}^{2}$$
Vea también
Volumen de una pirámide

martes, 20 de septiembre de 2016

Desafío matemático 2

En este post nos ocuparemos demostrando que:
$$\arccos{\left(\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right |}\right)}=\delta$$
Para esta demostración usaremos la ley de los cosenos y nos ilustraremos con la siguiente gráfica.
Si \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) son vectores y \(\delta\) es el ángulo entre ellos, entonces si \(\vec{a}-\vec{b}\) es igual a un vector \(\vec{w}\) es decir \(\vec{w}=\vec{a} - \vec{b}\), entonces la magnitud de dicho vector usando la ley de los cosenos es.
\({\left |\vec{w}\right |}^{2} ={\left |\vec{a}\right |}^{2} +{\left |\vec{b}\right |}^{2}-2\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos{\delta} \)
Sabemos que \({\vec{w}}^{2}={\left|\vec{w}\right|}^2\) y como \(\vec{w}=\vec{a}-\vec{b}\), entonces sustituyendo esto en la ley de los cosenos tenemos
\({\left(\vec{a}-\vec{b}\right)}^{2}={\left|\vec{a}\right|}^{2}+{\left|\vec{b}\right|}^{2}-2\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos{\delta}\)
Desarrollamos el cuadrado del binomio \({\left(\vec{a}-\vec{b}\right)}^{2}\)

Pero \({\vec{a}}^{2}={\left|\vec{a}\right|}^{2}\) y \({\vec{b}}^{2}={\left|\vec{b}\right|}^{2}\)

Eliminamos los términos semejantes \({\left|\vec{a}\right|}^{2}\) y \({\left|\vec{b}\right|}^{2}\), quedándonos entonces.
\(-2\vec{a}\cdot \vec{b}=-2\left|\vec{a}\right|\left|\vec{a}\right|\cos{\delta}\)
Y despejando \(\cos{\delta}\) .

Y por último despejamos \(\delta\), aplicando \(\arccos{}\) a ambos lados de la igualdad

Vea también
Vectores
Producto escalar o producto punto
Producto vectorial
Ley de los cosenos

martes, 13 de septiembre de 2016

Examen evaluativo de fracciones online

Selecione la respuesta correcta con un clic.
Nota: al final hay un botón llamado [Corregir] que le permite saber su puntuación en el exámen

1) ¿Cuál es el numerador de la fracción \(\frac{1}{2}\) ?

\(a)\:\: 0\)

\(b)\:\: 1\)

\(c)\:\: 2\)


2) ¿Cuál es el denominador de la fracción \(\frac{a}{b}\) ?

\(a)\:\: e\)

\(b)\:\: a\)

\(c)\:\: b\)


3) ¿Cuál de las siguientes fracciones es impropia ?

\(a)\:\: \frac{2}{3}\)

\(b)\:\: \frac{4}{3}\)

\(c)\:\: Ninguna\)


4) ¿Cuál de las siguientes fracciones es propia ?

\(a)\:\: \frac{2}{7}\)

\(b)\:\: \frac{4}{3}\)

\(c)\:\: Ninguna\)


5) ¿Cuál de las siguientes fracciones es mixta ?

\(a)\:\: 3\frac{1}{3}\)

\(b)\:\: \frac{4}{3}\)

\(c)\:\: \frac{22}{7}\)


6) ¿Cuál es el resultado de sumar \(\frac{1}{2}+1\) ?

\(a)\:\: \frac{5}{2}\)

\(b)\:\: \frac{3}{2}\)

\(c)\:\: \frac{2}{7}\)


7) ¿Cuál es el resultado de restar \(\frac{5}{2}-\frac{3}{2}\) ?

\(a)\:\: 2\)

\(b)\:\: \frac{3}{2}\)

\(c)\:\: 1\)


8) ¿Cuál de la siguientes operaciones da como resultado \(4\frac{1}{6}\)?

\(a)\:\: 1\frac{1}{2}+2\frac{2}{3}\)

\(b)\:\: \frac{8}{3}+\frac{3}{2}\)

\(c)\:\:\textrm{a y b son correctas}\)


9) El resultado de simplificar \(\frac{120}{180}\) hasta su mínima expresión es

\(a)\:\: \frac{2}{3}\)

\(b)\:\: \frac{15}{2}\)

\(c)\:\:\textrm{a y b son correctas}\)


10) \(\frac{1}{2}x\frac{2}{3}\) es igual a

\(a)\:\: \frac{2}{3}\)

\(b)\:\: \frac{1}{3}\)

\(c)\:\:\textrm{Ningunas}\)


11) \(\frac{1}{3}÷\frac{2}{5}\) es igual a

\(a)\:\: \frac{5}{6}\)

\(b)\:\: \frac{1}{3}\)

\(c)\:\: \frac{2}{15}\)

12) Que fracción esta representada por la parte sombreada del gráfico


\(a)\:\: \frac{2}{3}\)

\(b)\:\: \frac{1}{3}\)

\(c)\:\: \frac{3}{2}\)


13) Josefa compró 3 libras y media de arroz.¿Qué fracción representa la cantidad de arroz que compró Josefa?

\(a)\:\: \frac{1}{2}\)

\(b)\:\: \frac{1}{3}\)

\(c)\:\: 3\frac{1}{2}\)



Vea tambien

Exámen de matemática online parte 1

Exámen de matemática online parte 2

Exámen de matemática online parte 3

Exámen de matemática online parte 4

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