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martes, 20 de septiembre de 2016

Desafío matemático 2

En este post nos ocuparemos demostrando que:
$$\arccos{\left(\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right |}\right)}=\delta$$
Para esta demostración usaremos la ley de los cosenos y nos ilustraremos con la siguiente gráfica.
Si \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) son vectores y \(\delta\) es el ángulo entre ellos, entonces si \(\vec{a}-\vec{b}\) es igual a un vector \(\vec{w}\) es decir \(\vec{w}=\vec{a} - \vec{b}\), entonces la magnitud de dicho vector usando la ley de los cosenos es.
\({\left |\vec{w}\right |}^{2} ={\left |\vec{a}\right |}^{2} +{\left |\vec{b}\right |}^{2}-2\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos{\delta} \)
Sabemos que \({\vec{w}}^{2}={\left|\vec{w}\right|}^2\) y como \(\vec{w}=\vec{a}-\vec{b}\), entonces sustituyendo esto en la ley de los cosenos tenemos
\({\left(\vec{a}-\vec{b}\right)}^{2}={\left|\vec{a}\right|}^{2}+{\left|\vec{b}\right|}^{2}-2\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos{\delta}\)
Desarrollamos el cuadrado del binomio \({\left(\vec{a}-\vec{b}\right)}^{2}\)

Pero \({\vec{a}}^{2}={\left|\vec{a}\right|}^{2}\) y \({\vec{b}}^{2}={\left|\vec{b}\right|}^{2}\)

Eliminamos los términos semejantes \({\left|\vec{a}\right|}^{2}\) y \({\left|\vec{b}\right|}^{2}\), quedándonos entonces.
\(-2\vec{a}\cdot \vec{b}=-2\left|\vec{a}\right|\left|\vec{a}\right|\cos{\delta}\)
Y despejando \(\cos{\delta}\) .

Y por último despejamos \(\delta\), aplicando \(\arccos{}\) a ambos lados de la igualdad

Vea también
Vectores
Producto escalar o producto punto
Producto vectorial
Ley de los cosenos