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viernes, 23 de septiembre de 2016

La cuña - Volumen y área de superficie total

En este post les dedicaremos una atención especial al cuerpo sólido conocido como cuña.

Volumen de una cuña
Como la cuña es un prisma y tiene dos caras paralelas con misma área \(A\) el volumen de una cuña es igual al área de una cara \(A\) multiplicada por la distancia a que se encuentran separada \(b\), es decir el volumen matemáticamente de un cuerpo con esta característica es \(V=A\cdot b\), bueno y como el sólido que nos interesa es la cuña, sabemos que está compuesta por dos cara paralela que tienen área \(A\) y la distancia que separa esta dos caras como se muestra en la cuña mostrada mas arriba es \(b\), por tanto el volumen de una cuña es igual a.
$$V=A\cdot b$$
Ah pero la cara de una cuña tiene forma triangular y sabemos que el área de un triángulo es \(A=\frac{B\cdot H}{2}\), si tomamos \(B=a\) y \(H=h\), el área de la base triangular de la cuña dada en el gráfico de arriba es.
$$A=\frac{a\cdot h}{2}$$
Si sustituimos \(A\) en \(V=A\cdot b\) entonces.

Y el volumen de una cuña con las características dada en la gráfica al principio de este artículo es.
$$V=\frac{1}{2}\left(a\cdot b\cdot h\right)$$
Esta fórmula muestra que el volumen de una cuña es igual a la mitad del producto del ancho, el largo y la altura.
Si el largo \(a\), el ancho \(b\) y el alto \(h\) son iguales es decir \(a=b=h=L\), entonces el volumen de esta cuña es.
$$V=\frac{{L}^{3}}{2}$$
Área de superficie total de una cuña
Como se puede ver en el esqueleto de la cuña de la siguiente imagen , la cuña tiene 5 caras, dos caras iguales con formas triangulares, y tres rectángulos.

Si las dos caras con formas triangulares tienen área \({A}_{t}\), y las otras tres caras rectángulares tienen áreas \({A}_{1}\), \({A}_{2}\) y \({A}_{3}\), entonces el área de superficie total de una cuña es.
$${A}_{total}=2\cdot {A}_{t}+{A}_{1}+{A}_{2}+{A}_{3}$$
Si \({A}_{t}=\frac{a\cdot h}{2}\) , \({A}_{1}=b\cdot h\), \({A}_{2}=a\cdot b\) , \({A}_{3}=b\cdot z\), entonces el área de superficie total va ha ser igual a:

Pero como \(z=\sqrt{{a}^{2}+{h}^{2}}\), el área de superficie total de una cuña es.

Pero si el largo \(a\), el ancho \(b\) y el alto \(h\) son iguales, es decir \(a=b=h=L\), entonces el área de superficie total de una cuña es.

El área de superficie total de una cuña en donde sus tres dimensiones miden \(L\) unidades es.
$${A}_{total}=\left(3+\sqrt{2}\right)\cdot {L}^{2}$$
Vea también
Volumen de una pirámide