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jueves, 29 de septiembre de 2016

Unidades de medida de un ángulo

En este post vamos a estar hablando de las unidades de medidas que se utilizan para medir un ángulo. Y como muchos ya saben un ángulo se mide en grados (\({}^{\circ{}}\)) tal como se muestra en los siguientes ejemplos.
\({45}^{\circ{}}\)
\({60}^{\circ{}}\)
\({90}^{\circ{}}\)
Los ángulos también se miden en radianes tal como se muestra en los siguientes ejemplos
\(2\pi rad\)
\(10 rad\)
\(20 rad\)
También los ángulos se miden en revoluciones siendo una revolución igual a \(2\pi rad={360}^{\circ{}}\), ejemplos.
\(2rev\)
\(10rev\)
\(2\pi rev\)
Equivalencia de medida de ángulos
Bueno como mucho sabemos una unidad de medida particular puede ser equivalente a otra medida particular ejemplos.
\(1rad=\frac{{360}^{\circ{}}}{2\pi}={57.3}^{\circ{}}\)
\(1rev =2\pi rad\)
\(1rad=\left(\frac{1}{2\pi}\right) rev=0.159rev\)
\(1rev={360}^{\circ{}}\)
Ahora bien los ángulos también pueden ser expresados en grados (\({}^{\circ{}}\)), minutos (\({}^{'}\)) y segundos (\({}^{"}\)), ejemplos.
\({x}^{\circ{}}\:\:{y}^{'}\:\:{z}^{"}\)
\({30}^{\circ{}}\:\:{10}^{'}\:\:{25}^{"}\)
\({0}^{\circ{}}\:\:{35}^{'}\:\:{40}^{"}\)
\({180}^{\circ{}}\:\:{30}^{'}\:\:{0}^{"}\)
Debemos decir que un grado tiene 60 minutos, y que un minuto tiene 60 segundos, y que además un grado tiene 3600 segundos:
\({1}^{\circ{}}=60'\)
\({1}^{\circ{}}={3600}^{"}\)
\(1'={60}^{"}\)
Operaciones de suma y resta de un ángulo
¿Como sumamos dos ángulos expresados en grados, minutos y segundos?
.1-- Para sumar dos ángulos que están expresado en grados, minutos y segundos, sumamos grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos tal como se muestra en el ejemplo.
\({20}^{\circ{}}\:{34}^{'}\:{08}^{"}+{10}^{\circ{}}\:{20}^{'}\:{12}^{"}=\)

Ahora bien cuando sumamos los segundos y esta suma es mayor o igual a \({60}^{"}\) entonces dividimos el resultado de esta suma entre 60, el residuo de esta división la colocamos en la posición donde están los segundos, y el cociente se los sumamos a los minutos, pero también si la suma de los minutos es mayor o igual a \({60}^{'}\), entonces dividimos el resultado de esta suma entre 60, el residuo de esta división lo colocaremos en la misma posición de los minutos y el cociente se lo sumaremos a los grados, veamos algunos ejemplos de este tipo.
\({15}^{\circ{}}\:{34}^{'}\:{49}^{"}+{10}^{\circ{}}\:{20}^{'}\:{15}^{"}=\)

\({15}^{\circ{}}\:{55}^{'}\:{30}^{"}+{10}^{\circ{}}\:{21}^{'}\:{15}^{"}=\)

\({35}^{\circ{}}\:38'\:{50}^{"}+{10}^{\circ{}}\:30'\:{17}^{"}=\)

¿Como restamos dos ángulos expresados en grados, minutos y segundos?
1-- Al igual que con la suma, para restar dos ángulos expresados en grados, minutos y segundos, a los segundos les restamos los segundos, a los minutos les restamos los minutos y a los grados les restamos los grados, como se muestra en el ejemplo.
\({09}^{\circ{}}\:40'\:{55}^{"}+{03}^{\circ{}}\:37'\:{11}^{"}=\)

Pero cuando los segundos del minuendo son menores que los del sustraendo, les tomamos prestado un minuto o 60 segundos a los minutos del minuendo y se los sumamos a los segundos del minuendo y luego efectuamos la resta, y si también los minutos del minuendo son menores que los minutos del sustraendo, tomamos un grado o 60 minutos del minuendo y se lo sumamos a los minutos del minuendo y luego efectuamos la resta, veamos algunos ejemplos con estas características.
\({25}^{\circ{}}\:50'\:{05}^{"}+{03}^{\circ{}}\:37'\:{11}^{"}=\)

\({25}^{\circ{}}\:22'\:{52}^{"}+{13}^{\circ{}}\:44'\:{31}^{"}=\)

\({25}^{\circ{}}\:20'\:{10}^{"}+{13}^{\circ{}}\:44'\:{31}^{"}=\)

Veamos algunos ejercicios relacionados con este tema.
1** Si un ángulo mide \({75200}^{"}\) segundos.¿A cuánto grados, minutos y segundos equivale este ángulo?
Solución:
Como \(1'={60}^{"}\), dividimos \({75200}^{"}\) entre 60, y la división la detenemos cuando el residuo sea menor que 60.

Entonces \({75200}^{"}=1253'\:{20}^{"}\), así que ahora los \(1253'\) minutos los dividiremos entre 60, ya que \({1}^{\circ{}}=60'\).

Por tanto \(1253'\:{20}^{"}={20}^{\circ{}}\:53'\:{20}^{"}\), entonces un ángulo de \({75200}^{"}\) es igual a \({20}^{\circ{}}\:53'\:{20}^{"}\).
2** ¿A cuántas revoluciones (\(rev\))  equivale un ángulo de \({9970}^{\circ{}}\)?
Solución:
Como \(1rev={360}^{\circ{}}\), simplemente multiplicamos \({9970}^{\circ{}}\) por \(\frac{1rev}{{360}^{\circ{}}}\) es decir.
\(\left({9970}^{\circ{}}\right)\cdot \left(\frac{1rev}{{360}^{\circ{}}}\right)=27.69rev\)
3** ¿A cuánto radianes equivale \({1900}^{\circ{}}\)?
Solución:
Como \(1rad={57.3}^{\circ{}}\), y si dos cantidades son iguales y diferente de cero entonces su división es igual a uno, por tanto \(\frac{1rad}{{57.3}^{\circ{}}}=1\), y la propiedad del elemento neutro de la multiplicación establece que cualquier cantidad multiplicada por 1 es igual a la misma cantidad por tanto.
\({1900}^{\circ{}}=\left({1900}^{\circ{}}\right)\left(\frac{1rad}{{57.3}^{\circ{}}}\right)=\)
\(\frac{{1900}^{\circ{}}\cdot 1rad}{{57.3}^{\circ{}}}=33.16rad\)
Vea también
Conversión de medidas 
Estándares y unidades