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viernes, 28 de octubre de 2016

Rotación de los ejes coordenados de una ecuación en dos variables

En este post nos enfocaremos en ver lo que sucede con las ecuaciones de funciones cuando los ejes coordenados \(x\) e \(y\) son rotados, para una mayor comprensión de este post les invito a ver el artículo [Rotación de ejes coordenados].
Por ejemplo vamos a rotar la ecuación \({x}^2 -y=0\) un ángulo de .\({30}^{\circ}\).
Entonces para una ecuación que represente este nuevo lugar geométrico, vamos a sustituir \(x\)\(y\) por.
\( x=x'\cos{\theta}-y'\sin{\theta}\)
\(y=x'\sin{\theta}+y'\cos{\theta}\)
Como \(\sin{{30}^{\circ}}=\frac{1}{2}\)\(\cos{{30}^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\), entonces \(x\)\(y\) son.
\(\begin{align*} x&=\frac{x'\sqrt{3}}{2}-\frac{y'}{2} \\ y&=\frac{x'}{2}+\frac{y'\sqrt{3}}{2}  \end{align*}\)
Así que sustituyendo estos valores de \(x\)\(y\), en la ecuación \({x}^2 -y=0\) y simplificando vamos a tener las nuevas coordenadas para el nuevo lugar geométrico.
Simplificación-de-rotación-de-coordenadas
Entonces la ecuación \({x}^2 -y=0\) después de ser girada \({30}^{\circ}\) se transforma en la ecuación.
Transformación-de-x^2
En donde \(x'\)\(y'\) representan las nuevas coordenadas de \(x\)\(y\), por lo que la ecuación anterior la podemos escribir como.
Transformación-de-x^2
Y esta ecuación está representada gráficamente por.
Giro-de-los-ejes-de-la-función-x^2
Esto nos pone ha pensar que si una ecuación contiene un término \(kxy\), si conseguimos girar la ecuación un ángulo apropiado en donde \(k=0\), este término se reduciría a cero, y este sería el problema inverso llevar la ecuación (1) a la ecuación original \({x}^2 -y=0\), ý esto sería muy conveniente ya que sabiendo que la ecuación (1) es el resultado de rotar la ecuación \({x}^2 -y=0\) un ángulo \(\theta\), esto nos facilitaría mucho poder graficar la ecuación (1) y sus propiedades.
Así que ahora vamos a encontrar la ecuación \({x}^2 -y=0\) a partir de girar la ecuación (1) un ángulo \(\theta\).
Para esto sustituiremos \(x\)\(y\) en la ecuación (1) por.
\(\begin{align*} x&=x'\cos{\theta}-y'\sin{\theta}\\ y&=x'\sin{\theta}+y'\cos{\theta} \end{align*}\)
Y lo único que haremos ahora es simplificar, tal como se muestra a continuación.
Rotación-de-los-ejes-coordenados-de-una-función
Vemos que el coeficiente que contiene \(x'y'\) es.
\(2\sqrt{3}-4\sin{\theta}\cos{\theta}-4\sqrt{3}{cos}^{2}\theta\)
Así que igualamos esto a cero y resolvemos la ecuación trigonométrica, para encontar \(\theta\).
\(2\sqrt{3}-4\sin{\theta}\cos{\theta}-4\sqrt{3}{cos}^{2}\theta=0\)
Y las posibles soluciones para \(\theta\) son. 
\(\theta=-{120}^{\circ}\:\: \theta={60}^{\circ}\:\: \theta=-{30}^{\circ}\)
Pero nosotros tomaremos \(\theta=-{30}^{\circ}\) como la solución correcta ya que la ecuación (1) se generó al rotar \({x}^{2}-y=0\) un ángulo de \({30}^{\circ}\), así que cuando rotamos la ecuación (1) \(-{30}^{\circ}\) devolvemos la ecuación (1) a su posición original, así que ahora sustituimos \(\cos{-{30}^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) y \(\sin{-{30}^{\circ}}=-\frac{1}{2}\) en la ecuación (2), el proceso de simplificación se muestra a continuación. Simplificación-de-la-rotación-de-ejes-de-una-ecuación Entonces podemos ver que después de girar la ecuación
\(3{x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{3}xy-2x-2\sqrt{3}y=0\)
Un ángulo de \(-{30}^{\circ}\) se transforma en \({x}^{2}-y=0\).
Vea también
Rotación de ejes coordenados
Seno, coseno de la suma de dos, tres, cuatro y n ángulos y rotación de ejes coordenados

martes, 25 de octubre de 2016

Seno, coseno de la suma de dos, tres, cuatro y n ángulos y rotación de ejes coordenados

Este artículo es una aplicación del tema [Rotación de ejes coordenados], para una mejor comprensión de este sería bueno leer [Rotación de ejes coordenados], bueno y como el nombre de este artículo lo indica en este post vamos a hablar de como utilizar las ecuaciones de transformación de coordenadas para un punto \(\left(x,y\right)\), en la obtención de una manera rápida y fácil del seno, coseno de la suma de dos, tres, cuatros y n ángulos.
Ya que una propiedad importante de la rotación de los ejes coordenados es que si giramos los ejes \(x\)\(y\) un ángulo \({\theta}_{1}\), y las coordenadas del nuevo punto lo giramos otra vez un ángulo \({\theta}_{2}\), obtenemos el mismo resultados que si giramos el punto un ángulo \(\theta ={\theta}_{1}+{\theta}_{2}\).
Después de girar un punto P la posiciones \(x\)\(y\) son graficamente
rotación-de-ejes-coordenados
Pero si giramos primero el punto P el ángulo \({\theta}_{1}\) y después el nuevo punto lo giramos \({\theta}_{2}\) entonces la posición de P es la misma que en la gráfica anterior tal como se muestra en la siguiente gráfica.
rotación-de-ejes-coordenados-2
Si giramos un punto \(P\left(x,y\right)\) un ángulo \(\theta ={\theta}_{1}+{\theta}_{2}\), la nueva coordenada \(x\) del punto \(P\) es .
Ecuación-1
Ahora vamos a girar el punto \(P\left(x,y\right)\) original primero un ángulo \({\theta}_{1}\), después un ángulo \({\theta}_{2}\), y luego igualaremos la ecuación (1) con el resultado conseguido para así obtener el seno y el coseno de la suma de dos ángulos, tal como se muestra a continuación.
Primero obtenemos la posición de \(x\)\(y\) después de girar un ángulo \({\theta}_{1}\).
Ecuación-2
Y las nuevas posiciones para \(x\)\(y\) son.
Ecuación-3
Y la ecuaciones (2) y (3) representa la nueva posición de \(x\)\(y\), ahora estas nuevas posiciones de \(x\)\(y\) las volvemos a rotar un ángulo \({\theta}_{2}\).
Ecuación-4
Y la posición \(x\) después de una rotación \({\theta}_{2}\) es.

Ahora observamos que la ecuación (1) dada mas arriba y la ecuación (4) representan la misma coordenada \(x\).

Ahora observamos que se cumple que.
Ecuación-5
Así que despejando el coseno y seno de la suma de \({\theta}_{1}+{\theta}_{2}\).
Ecuación-6
Y el coseno y seno de la suma de dos ángulo \({\theta}_{1}+{\theta}_{2}\) son.
seno-y-coseno-de-la-suma-de-dos-ángulos
Y siguiendo los mismos pasos que hemos dado para la obtención del seno y coseno de la suma de dos ángulos, podemos obtener el seno y el coseno de tres, cuatro y n ángulos.
El seno y el coseno de la suma de tres ángulos es.
seno-y-coseno-de-la-suma-de-tres-ángulos
El seno y el coseno de la suma de cuatro ángulos es.
seno-y-coseno-de-la-suma-de-cuatro-ángulos
Y del seno y el coseno de la suma de dos, tres y cuatro ángulos, concluimos que el seno y el coseno de la suma de \(n\) ángulos es.
seno-y-coseno-de-la-suma-de-n-ángulos
Por último partiendo de las fórmulas para el seno y el coseno de la suma de \(n\) ángulos, vamos a encontrar una fórmula general para el caso particular, donde se cumple que.
\({\theta}_{1}={\theta}_{2}={\theta}_{3}\:\cdot \cdot {\theta}_{n-1}={\theta}_{n}=\theta\)
Por lo que se cumple que.
\({\theta}_{1}+{\theta}_{2}+\cdot \cdot{\theta}_{n-1}+{\theta}_{n}=n\theta\)
\({\theta}_{1}+{\theta}_{2}+\cdot \cdot{\theta}_{n-1}=\left[n-1\right]\theta\)
Así que sustituyendo las relaciones anteriores  en las fórmulas que permiten calcular el seno y el coseno de la suma de \(n\) ángulos vamos a tener.
Ecuación-7
Así que el seno y el coseno de \(n\) veces un ángulo \(\theta\) es.
Coseno-y-seno-de-n-veces-un-ángulo
Veamos algunos ejercicios aplicado a este tema.
1- Hallar fórmulas que permitan calcular el seno y el coseno del doble, triplo y cuatruplo de un ángulo \(\theta\).
Solución:
Primero para obtener el seno y el coseno del doble de un ángulo, hacemos uso de la fórmula para el seno y el coseno de \(n\) veces un ángulo, así que como buscamos el doble del ángulo \(\theta\)  tomamos \(n=2\) por lo que \(n-1=1\).
Ecuación
Así que el seno y el coseno del doble de un ángulo es.
Coseno-y-seno-del-doble-de-un-ángulo
Hacemos lo mismo para determinar el seno y el coseno del triplo de un ángulo, tomamos \(n=3\)\(n-1=2\) y hacemos estas sustituciones en la fórmulas generales para obtener el seno y el coseno de \(n\) veces un ángulo \(\theta\).
Ecuación
Ahora sustituimos \(\sin{2\theta}\) y \(\cos{2\theta}\).
Ecuación
Así que el seno y el coseno del triplo de un ángulo es.
Coseno-y-seno-del-triplo-de-un-ángulo
Por último para calcular el cuatruplo de un ángulo tomamos \(n=4\)\(n-1=3\), y sustituimos en la fórmula del seno y el coseno de \(n\) veces un ángulo.
Ecuación
Y el seno y el coseno del cuatruplo de un ángulo es.
 Coseno-y-seno-del-cuatruplo-de-un-ángulo
2- Hallar una fórmula para el seno y el coseno de la suma de cinco ángulos de diferentes medidas
Solución:
Para esto tomamos la fórmulas que nos permite calcular el seno y el coseno de la suma de \(n\) ángulos, tomando \(n=5\)\(n-1=4\) y sustituimos.
Coseno-y-seno-de-la-suma-de-cinco-ángulos
Y aunque las expresiones para el seno y el coseno de la suma de 5 ángulos se puede amplificar mas obteniendo el coseno y el seno de la suma de 4 ángulos, y luego obteniendo el coseno y el seno de la suma de 3 ángulos, preferimos no continuar ya que esta sería una expresión matemática bien larga.
Vea también
Rotación de ejes coordenados

viernes, 21 de octubre de 2016

Rotación de ejes coordenados

En este post vamos a hablar del importante tema matemático y geométrico como lo es la rotación de los ejes coordenados, este tema cobra importancia cuando queremos saber las nuevas posiciones de un punto o una función después de que se han rotado los ejes coordenados un ángulo \(\theta\) respecto al eje horizontal \(x\), debemos decir que después que los ejes coordenados \(x\)\(y\) son rotados un ángulo \(\theta\) se transforman en los ejes \(x'\)\(y'\).
Así que si un \(P\) está dibujado en los ejes coordenadas \(xy\) cuando rotamos los ejes \(xy\) un ángulo \(\theta\) este punto pierde sus propiedades como son la distancia del punto \(P\) al origen al igual que las componentes \(\left(x,y\right)\) cambian sus valores, pero las propiedades del punto \(P\) siguen siendo la misma en los ejes coordenados \(x'\)\(y'\) que representan los ejes \(x\)\(y\) después de ser rotados una ángulo \(\theta\).
gráfico de rotación de coordenadas
La siguiente gráfica nos permitirá ilustrarnos para deducir una relación entre \(\left(x,y\right)\)\(\left(x',y'\right)\).
gráfico de rotación de coordenadas
Después de rotar los ejes \(xy\) un angulo \(\theta\), el punto \(\left(x,y\right)\) se transforma en \(\left(x',y'\right)\).
Si \(\overline{OB}=\overline{OE}+\overline{EB}\) , pero \(\overline{OE}=u\)\(\overline{EB}=v\) por tanto \(\overline{OB}=u+v=x'\), así que \(u+v=x'\), por lo que despejando \(u+v=x'\) sabemos que \(u=x'-v\), así que el segmento \(\overline{OC}\) es igual \(u\cos{\theta}=x\).
Por tanto si sustituimos \(u\) por \(x'-v\) y encontrando el valor de \(v\) tendremos una relación entre \(x\)\(x'\)\(y'\) que es el objetivo, todo el proceso se muestra continuación.
ecuación
Por tanto después de rotar \(xy\) un ángulo \(\theta\)\(x\)\(x'\)\(y'\) están relacionado por.
fórmula de rotación del eje x
Ahora vamos por una relación entre \(y\)\(x'\)\(y'\).
En la gráfica de mas arriba vemos que \(\overline{OD}=\overline{DE}+\overline{EO}\) y como \(\overline{DE}=s\)\(\overline{EO}=w\) entonces \(\overline{OD}=s+w\) pero \(s+w=y\)\(w=u\cos{\theta}\), donde \(u=x'-y'\tan{\theta}\), para obtener \(w\) tomamos el coseno del ángulo \(EAB\) que es igual a \(\theta\) y despejamos \(w\), luego sustituimos \(s\)\(w\) en \(s+w=y\), todo este proceso se muestra a continuación.
ecuación
ecuación
ecuación
Por lo que después de rotar los ejes \(xy\) un ángulo \(\theta\)\(y\), \(x'\) y \(y'\) están relacionados por la expresión matemática.
fórmula de rotación del eje y
Asi que en conclusión si rotamos los ejes \(xy\) un ángulo \(\theta\), el punto \(\left(x,y\right)\)\(\left({x}^{'},{y}^{'}\right)\) están relacionados mediante las expresiones.
fórmulas de rotación de los eje x e y
De este tema se desprende importantes aplicaciones por lo que tendremos que recurrir a otros artículos para ver más aplicaciones de este tema, pero por el momento en este artículo vamos a considerar una de las aplicaciones mas simple como lo es obtener la nueva posición de un punto \(\left({x}_{1},{y}_{1}\right)\) después que es rotado un ángulo \(\theta\).

1- Si el punto \(\left(4,6\right)\) es rotado \({45}^{\circ{}}\), ¿cual es la nueva posición de este punto en los ejes \(xy\)?
Solución:
Tomamos \(x'=4\)\(y'=6\)\(\theta={40}^{\circ{}}\), entonces
ejercicio 1
Y la nueva posición del punto \(\left(4,6\right)\) en los ejes originales \(xy\) después de rotarse \({45}^{\circ{}}\) es \(\left(-\sqrt{2},5\sqrt{2}\right)\), la gráfica siguiente muestra la nuevas coordenadas de este punto.
gráfico de rotación de coordenadas


2- Si el punto \(\left(2,4\right)\) se gira \({30}^{\circ{}}\). ¿Cuál es la nueva posición de este punto?
Solución:
Si \(x'=2\), \(y'=4\)\(\theta={30}^{\circ{}}\) entonces.
ejercicio 2
Y después de la rotación el nuevo punto es \(\left(\sqrt{3}-2,1+2\sqrt{3}\right)\), tal como se muestra en la gráfica.
gráfico de rotación de coordenadas
Vea también
Perímetro y área de un polígono regular
Medida y suma de los ángulos interiores de un polígono regular
Ley de Herón
Altura de un triángulo
Seno, coseno de la suma de dos, tres, cuatro y n ángulos y rotación de ejes coordenados
Rotación de ejes coordenados de ecuaciones en dos variables

martes, 18 de octubre de 2016

Números binarios y números del sistema decimal

En este artículo vamos a hablar de como transformar un número binario a decimal y viceversa.
Los números binarios son aquellos que tienen como base 2.
Lo primero que tenemos que decir es que los números que utilizamos para contar y representar diferentes cantidades aquí en occidente y en otras partes del mundo forman parte del sistema decimal, veamos ejemplos de números escrito en el sistema decimal
\({120}_{10}=120\)
\({1000}_{10}=1000\)
\({424}_{10}=424\)
Diferente a los números en el sistema decimal que se pueden representar a través de 10 símbolos como son \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\), los números binarios sólo se representa a través de los dos símbolos \(0,1\). veamos algunos ejemplos de números binarios.
\({110}_{2}=110\)
\({1010}_{2}=1010\)
\({111}_{2}=111\)
¿Como convertir un número binario en decimal?
1-Para convertir un número binario a decimal, lo primero que debemos hacer es identificar la cantidad de símbolos que componen el número es decir, \(111\), tiene 3 símbolos así que tomamos el \(n=3\), si el número es \(1010\), tiene 4 símbolos entonces tomamos \(n=4\).
2- Cada símbolo o número tomado de izquierda a derecha lo multiplicamos por la base 2 elevado a la \(n-1\), \(n-2\), \(n-3\), hasta llegar a el último símbolo o número, ejemplo.
\(111\)
\(n=3\)
\(1\chi {2}^{n-1} +1\chi {2}^{n-2}+ 1 \chi {2}^{n-3}\)
\(=1\chi {2}^{2} + 1 \chi {2}^{1} +1 \chi {2}^{0}\)
3- Y después del paso 1 y 2 entonces simplificamos las potencias y la multiplicamos por el número indicado y después sumamos para obtener el número decimal, ejemplo.
\(111\)
\(n=3\)
\(1\chi {2}^{2}+1 \chi {2}^{1} +1\chi {2}^{0}=\)
\(=1\chi 4 +1\chi 2+ 1 \chi 1\)
\(=4+ 2+ 1\)
\(=7\)
Así que el número binario \(111\) es igual al número del sistema decimal \(7\).
Veamos mas ejemplos de como convertir un número binario a decimal.
\(1-1100=\)
\(n=4\)
\(= 1\chi {2}^{4-1}+1\chi {2}^{4-2}+0\chi {2}^{4-3}+0\chi {2}^{4-4}\)
\(=1\chi {2}^{3}+1\chi {2}^{2}+0\chi {2}^{1}+0\chi {2}^{0}\)
\(=1\chi 8+1\chi 4+0\chi 2+0\chi 1\)
\(= 8+4+0+0\)
\(=12 \)
Así que el número binario 1100 es equivalente al número 12 del sistema decimal.
\(2-101=\)
\(n=3\)
\(= 1\chi {2}^{3-1}+0\chi {2}^{3-2}+1\chi {2}^{3-3}\)
\(= 1\chi {2}^{2}+0\chi {2}^{1}+1\chi {2}^{0}\)
\(=1\chi 4+0\chi 2+1\chi 1\)
\(=4+0+1\)
\(=5  \)
Por tanto el número binario 101 es igual al número 5 del sistema decimal.
¿Como convertir un número del sistema decimal en binario?
Primero dividimos el número del sistema numérico decimal entre 2, y esta división se realiza hasta que el residuo sea menor o igual a uno, pero si el cociente es mayor o igual a 2, este cociente se divide entre 2, una vez mas, y este proceso se repite hasta que el cociente sea igual a cero y el número binario lo conformarán todos los residuos de las divisiones sucesivas tomados de derecha a izquierda, veamos un ejemplo.
Expresar el 20 como un número binario.
Solución:
Dividimos 20 entre dos hasta que el residuo de la división sea menor o igual uno.
división 1
Ahora dividimos el cociente 10 entre 2.
división 2
Ahora dividimos el cociente 5 entre 2.
división 3
Ahora dividimos el cociente 2 entre 2.
división 4
Y por último dividimos el cociente 1 entre 2.
división 5
Ahora juntamos los residuos desde la última división hasta la primera, es decir \(10100\), entonces \(20\) expresado como binario es \(10100\).
Veamos algunos ejemplos de convertir un número del sistema decimal en binario.
\(30=\)
Solución:
Dividimos 30 entre 2 hasta que el residuo sea menor o igual a uno, y repetimos este proceso en cada cociente que se genera en cada división hasta que el último cociente sea igual a cero.
conversión de un número del sistema decimal a binario
Y tomados los residuos de derecha a izquierda el número binario es \(11110\).
\(8=\)
Solución:
Dividimos 8 entre dos hasta que el residuo de la división sea menor o igual a1, luego el cociente de esta división lo volvemos a dividir entre 2 hasta que el residuo de la división sea igual o menor que uno, este proceso lo repetimos hasta que el cociente sea igual a cero.
conversión de un número del sistema decimal a binario
Y tomando los residuos de esta división de derecha a izquierda, el número binario es \(1000\).