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martes, 18 de octubre de 2016

Números binarios y números del sistema decimal

En este artículo vamos a hablar de como transformar un número binario a decimal y viceversa.
Los números binarios son aquellos que tienen como base 2.
Lo primero que tenemos que decir es que los números que utilizamos para contar y representar diferentes cantidades aquí en occidente y en otras partes del mundo forman parte del sistema decimal, veamos ejemplos de números escrito en el sistema decimal
\({120}_{10}=120\)
\({1000}_{10}=1000\)
\({424}_{10}=424\)
Diferente a los números en el sistema decimal que se pueden representar a través de 10 símbolos como son \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\), los números binarios sólo se representa a través de los dos símbolos \(0,1\). veamos algunos ejemplos de números binarios.
\({110}_{2}=110\)
\({1010}_{2}=1010\)
\({111}_{2}=111\)
¿Como convertir un número binario en decimal?
1-Para convertir un número binario a decimal, lo primero que debemos hacer es identificar la cantidad de símbolos que componen el número es decir, \(111\), tiene 3 símbolos así que tomamos el \(n=3\), si el número es \(1010\), tiene 4 símbolos entonces tomamos \(n=4\).
2- Cada símbolo o número tomado de izquierda a derecha lo multiplicamos por la base 2 elevado a la \(n-1\), \(n-2\), \(n-3\), hasta llegar a el último símbolo o número, ejemplo.
\(111\)
\(n=3\)
\(1\chi {2}^{n-1} +1\chi {2}^{n-2}+ 1 \chi {2}^{n-3}\)
\(=1\chi {2}^{2} + 1 \chi {2}^{1} +1 \chi {2}^{0}\)
3- Y después del paso 1 y 2 entonces simplificamos las potencias y la multiplicamos por el número indicado y después sumamos para obtener el número decimal, ejemplo.
\(111\)
\(n=3\)
\(1\chi {2}^{2}+1 \chi {2}^{1} +1\chi {2}^{0}=\)
\(=1\chi 4 +1\chi 2+ 1 \chi 1\)
\(=4+ 2+ 1\)
\(=7\)
Así que el número binario \(111\) es igual al número del sistema decimal \(7\).
Veamos mas ejemplos de como convertir un número binario a decimal.
\(1-1100=\)
\(n=4\)
\(= 1\chi {2}^{4-1}+1\chi {2}^{4-2}+0\chi {2}^{4-3}+0\chi {2}^{4-4}\)
\(=1\chi {2}^{3}+1\chi {2}^{2}+0\chi {2}^{1}+0\chi {2}^{0}\)
\(=1\chi 8+1\chi 4+0\chi 2+0\chi 1\)
\(= 8+4+0+0\)
\(=12 \)
Así que el número binario 1100 es equivalente al número 12 del sistema decimal.
\(2-101=\)
\(n=3\)
\(= 1\chi {2}^{3-1}+0\chi {2}^{3-2}+1\chi {2}^{3-3}\)
\(= 1\chi {2}^{2}+0\chi {2}^{1}+1\chi {2}^{0}\)
\(=1\chi 4+0\chi 2+1\chi 1\)
\(=4+0+1\)
\(=5  \)
Por tanto el número binario 101 es igual al número 5 del sistema decimal.
¿Como convertir un número del sistema decimal en binario?
Primero dividimos el número del sistema numérico decimal entre 2, y esta división se realiza hasta que el residuo sea menor o igual a uno, pero si el cociente es mayor o igual a 2, este cociente se divide entre 2, una vez mas, y este proceso se repite hasta que el cociente sea igual a cero y el número binario lo conformarán todos los residuos de las divisiones sucesivas tomados de derecha a izquierda, veamos un ejemplo.
Expresar el 20 como un número binario.
Solución:
Dividimos 20 entre dos hasta que el residuo de la división sea menor o igual uno.
división 1
Ahora dividimos el cociente 10 entre 2.
división 2
Ahora dividimos el cociente 5 entre 2.
división 3
Ahora dividimos el cociente 2 entre 2.
división 4
Y por último dividimos el cociente 1 entre 2.
división 5
Ahora juntamos los residuos desde la última división hasta la primera, es decir \(10100\), entonces \(20\) expresado como binario es \(10100\).
Veamos algunos ejemplos de convertir un número del sistema decimal en binario.
\(30=\)
Solución:
Dividimos 30 entre 2 hasta que el residuo sea menor o igual a uno, y repetimos este proceso en cada cociente que se genera en cada división hasta que el último cociente sea igual a cero.
conversión de un número del sistema decimal a binario
Y tomados los residuos de derecha a izquierda el número binario es \(11110\).
\(8=\)
Solución:
Dividimos 8 entre dos hasta que el residuo de la división sea menor o igual a1, luego el cociente de esta división lo volvemos a dividir entre 2 hasta que el residuo de la división sea igual o menor que uno, este proceso lo repetimos hasta que el cociente sea igual a cero.
conversión de un número del sistema decimal a binario
Y tomando los residuos de esta división de derecha a izquierda, el número binario es \(1000\).