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viernes, 21 de octubre de 2016

Rotación de ejes coordenados

En este post vamos a hablar del importante tema matemático y geométrico como lo es la rotación de los ejes coordenados, este tema cobra importancia cuando queremos saber las nuevas posiciones de un punto o una función después de que se han rotado los ejes coordenados un ángulo \(\theta\) respecto al eje horizontal \(x\), debemos decir que después que los ejes coordenados \(x\)\(y\) son rotados un ángulo \(\theta\) se transforman en los ejes \(x'\)\(y'\).
Así que si un \(P\) está dibujado en los ejes coordenadas \(xy\) cuando rotamos los ejes \(xy\) un ángulo \(\theta\) este punto pierde sus propiedades como son la distancia del punto \(P\) al origen al igual que las componentes \(\left(x,y\right)\) cambian sus valores, pero las propiedades del punto \(P\) siguen siendo la misma en los ejes coordenados \(x'\)\(y'\) que representan los ejes \(x\)\(y\) después de ser rotados una ángulo \(\theta\).
gráfico de rotación de coordenadas
La siguiente gráfica nos permitirá ilustrarnos para deducir una relación entre \(\left(x,y\right)\)\(\left(x',y'\right)\).
gráfico de rotación de coordenadas
Después de rotar los ejes \(xy\) un angulo \(\theta\), el punto \(\left(x,y\right)\) se transforma en \(\left(x',y'\right)\).
Si \(\overline{OB}=\overline{OE}+\overline{EB}\) , pero \(\overline{OE}=u\)\(\overline{EB}=v\) por tanto \(\overline{OB}=u+v=x'\), así que \(u+v=x'\), por lo que despejando \(u+v=x'\) sabemos que \(u=x'-v\), así que el segmento \(\overline{OC}\) es igual \(u\cos{\theta}=x\).
Por tanto si sustituimos \(u\) por \(x'-v\) y encontrando el valor de \(v\) tendremos una relación entre \(x\)\(x'\)\(y'\) que es el objetivo, todo el proceso se muestra continuación.
ecuación
Por tanto después de rotar \(xy\) un ángulo \(\theta\)\(x\)\(x'\)\(y'\) están relacionado por.
fórmula de rotación del eje x
Ahora vamos por una relación entre \(y\)\(x'\)\(y'\).
En la gráfica de mas arriba vemos que \(\overline{OD}=\overline{DE}+\overline{EO}\) y como \(\overline{DE}=s\)\(\overline{EO}=w\) entonces \(\overline{OD}=s+w\) pero \(s+w=y\)\(w=u\cos{\theta}\), donde \(u=x'-y'\tan{\theta}\), para obtener \(w\) tomamos el coseno del ángulo \(EAB\) que es igual a \(\theta\) y despejamos \(w\), luego sustituimos \(s\)\(w\) en \(s+w=y\), todo este proceso se muestra a continuación.
ecuación
ecuación
ecuación
Por lo que después de rotar los ejes \(xy\) un ángulo \(\theta\)\(y\), \(x'\) y \(y'\) están relacionados por la expresión matemática.
fórmula de rotación del eje y
Asi que en conclusión si rotamos los ejes \(xy\) un ángulo \(\theta\), el punto \(\left(x,y\right)\)\(\left({x}^{'},{y}^{'}\right)\) están relacionados mediante las expresiones.
fórmulas de rotación de los eje x e y
De este tema se desprende importantes aplicaciones por lo que tendremos que recurrir a otros artículos para ver más aplicaciones de este tema, pero por el momento en este artículo vamos a considerar una de las aplicaciones mas simple como lo es obtener la nueva posición de un punto \(\left({x}_{1},{y}_{1}\right)\) después que es rotado un ángulo \(\theta\).

1- Si el punto \(\left(4,6\right)\) es rotado \({45}^{\circ{}}\), ¿cual es la nueva posición de este punto en los ejes \(xy\)?
Solución:
Tomamos \(x'=4\)\(y'=6\)\(\theta={40}^{\circ{}}\), entonces
ejercicio 1
Y la nueva posición del punto \(\left(4,6\right)\) en los ejes originales \(xy\) después de rotarse \({45}^{\circ{}}\) es \(\left(-\sqrt{2},5\sqrt{2}\right)\), la gráfica siguiente muestra la nuevas coordenadas de este punto.
gráfico de rotación de coordenadas


2- Si el punto \(\left(2,4\right)\) se gira \({30}^{\circ{}}\). ¿Cuál es la nueva posición de este punto?
Solución:
Si \(x'=2\), \(y'=4\)\(\theta={30}^{\circ{}}\) entonces.
ejercicio 2
Y después de la rotación el nuevo punto es \(\left(\sqrt{3}-2,1+2\sqrt{3}\right)\), tal como se muestra en la gráfica.
gráfico de rotación de coordenadas
Vea también
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