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viernes, 28 de octubre de 2016

Rotación de los ejes coordenados de una ecuación en dos variables

En este post nos enfocaremos en ver lo que sucede con las ecuaciones de funciones cuando los ejes coordenados \(x\) e \(y\) son rotados, para una mayor comprensión de este post les invito a ver el artículo [Rotación de ejes coordenados].
Por ejemplo vamos a rotar la ecuación \({x}^2 -y=0\) un ángulo de .\({30}^{\circ}\).
Entonces para una ecuación que represente este nuevo lugar geométrico, vamos a sustituir \(x\)\(y\) por.
\( x=x'\cos{\theta}-y'\sin{\theta}\)
\(y=x'\sin{\theta}+y'\cos{\theta}\)
Como \(\sin{{30}^{\circ}}=\frac{1}{2}\)\(\cos{{30}^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\), entonces \(x\)\(y\) son.
\(\begin{align*} x&=\frac{x'\sqrt{3}}{2}-\frac{y'}{2} \\ y&=\frac{x'}{2}+\frac{y'\sqrt{3}}{2}  \end{align*}\)
Así que sustituyendo estos valores de \(x\)\(y\), en la ecuación \({x}^2 -y=0\) y simplificando vamos a tener las nuevas coordenadas para el nuevo lugar geométrico.
Simplificación-de-rotación-de-coordenadas
Entonces la ecuación \({x}^2 -y=0\) después de ser girada \({30}^{\circ}\) se transforma en la ecuación.
Transformación-de-x^2
En donde \(x'\)\(y'\) representan las nuevas coordenadas de \(x\)\(y\), por lo que la ecuación anterior la podemos escribir como.
Transformación-de-x^2
Y esta ecuación está representada gráficamente por.
Giro-de-los-ejes-de-la-función-x^2
Esto nos pone ha pensar que si una ecuación contiene un término \(kxy\), si conseguimos girar la ecuación un ángulo apropiado en donde \(k=0\), este término se reduciría a cero, y este sería el problema inverso llevar la ecuación (1) a la ecuación original \({x}^2 -y=0\), ý esto sería muy conveniente ya que sabiendo que la ecuación (1) es el resultado de rotar la ecuación \({x}^2 -y=0\) un ángulo \(\theta\), esto nos facilitaría mucho poder graficar la ecuación (1) y sus propiedades.
Así que ahora vamos a encontrar la ecuación \({x}^2 -y=0\) a partir de girar la ecuación (1) un ángulo \(\theta\).
Para esto sustituiremos \(x\)\(y\) en la ecuación (1) por.
\(\begin{align*} x&=x'\cos{\theta}-y'\sin{\theta}\\ y&=x'\sin{\theta}+y'\cos{\theta} \end{align*}\)
Y lo único que haremos ahora es simplificar, tal como se muestra a continuación.
Rotación-de-los-ejes-coordenados-de-una-función
Vemos que el coeficiente que contiene \(x'y'\) es.
\(2\sqrt{3}-4\sin{\theta}\cos{\theta}-4\sqrt{3}{cos}^{2}\theta\)
Así que igualamos esto a cero y resolvemos la ecuación trigonométrica, para encontar \(\theta\).
\(2\sqrt{3}-4\sin{\theta}\cos{\theta}-4\sqrt{3}{cos}^{2}\theta=0\)
Y las posibles soluciones para \(\theta\) son. 
\(\theta=-{120}^{\circ}\:\: \theta={60}^{\circ}\:\: \theta=-{30}^{\circ}\)
Pero nosotros tomaremos \(\theta=-{30}^{\circ}\) como la solución correcta ya que la ecuación (1) se generó al rotar \({x}^{2}-y=0\) un ángulo de \({30}^{\circ}\), así que cuando rotamos la ecuación (1) \(-{30}^{\circ}\) devolvemos la ecuación (1) a su posición original, así que ahora sustituimos \(\cos{-{30}^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) y \(\sin{-{30}^{\circ}}=-\frac{1}{2}\) en la ecuación (2), el proceso de simplificación se muestra a continuación. Simplificación-de-la-rotación-de-ejes-de-una-ecuación Entonces podemos ver que después de girar la ecuación
\(3{x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{3}xy-2x-2\sqrt{3}y=0\)
Un ángulo de \(-{30}^{\circ}\) se transforma en \({x}^{2}-y=0\).
Vea también
Rotación de ejes coordenados
Seno, coseno de la suma de dos, tres, cuatro y n ángulos y rotación de ejes coordenados