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martes, 25 de octubre de 2016

Seno, coseno de la suma de dos, tres, cuatro y n ángulos y rotación de ejes coordenados

Este artículo es una aplicación del tema [Rotación de ejes coordenados], para una mejor comprensión de este sería bueno leer [Rotación de ejes coordenados], bueno y como el nombre de este artículo lo indica en este post vamos a hablar de como utilizar las ecuaciones de transformación de coordenadas para un punto \(\left(x,y\right)\), en la obtención de una manera rápida y fácil del seno, coseno de la suma de dos, tres, cuatros y n ángulos.
Ya que una propiedad importante de la rotación de los ejes coordenados es que si giramos los ejes \(x\)\(y\) un ángulo \({\theta}_{1}\), y las coordenadas del nuevo punto lo giramos otra vez un ángulo \({\theta}_{2}\), obtenemos el mismo resultados que si giramos el punto un ángulo \(\theta ={\theta}_{1}+{\theta}_{2}\).
Después de girar un punto P la posiciones \(x\)\(y\) son graficamente
rotación-de-ejes-coordenados
Pero si giramos primero el punto P el ángulo \({\theta}_{1}\) y después el nuevo punto lo giramos \({\theta}_{2}\) entonces la posición de P es la misma que en la gráfica anterior tal como se muestra en la siguiente gráfica.
rotación-de-ejes-coordenados-2
Si giramos un punto \(P\left(x,y\right)\) un ángulo \(\theta ={\theta}_{1}+{\theta}_{2}\), la nueva coordenada \(x\) del punto \(P\) es .
Ecuación-1
Ahora vamos a girar el punto \(P\left(x,y\right)\) original primero un ángulo \({\theta}_{1}\), después un ángulo \({\theta}_{2}\), y luego igualaremos la ecuación (1) con el resultado conseguido para así obtener el seno y el coseno de la suma de dos ángulos, tal como se muestra a continuación.
Primero obtenemos la posición de \(x\)\(y\) después de girar un ángulo \({\theta}_{1}\).
Ecuación-2
Y las nuevas posiciones para \(x\)\(y\) son.
Ecuación-3
Y la ecuaciones (2) y (3) representa la nueva posición de \(x\)\(y\), ahora estas nuevas posiciones de \(x\)\(y\) las volvemos a rotar un ángulo \({\theta}_{2}\).
Ecuación-4
Y la posición \(x\) después de una rotación \({\theta}_{2}\) es.

Ahora observamos que la ecuación (1) dada mas arriba y la ecuación (4) representan la misma coordenada \(x\).

Ahora observamos que se cumple que.
Ecuación-5
Así que despejando el coseno y seno de la suma de \({\theta}_{1}+{\theta}_{2}\).
Ecuación-6
Y el coseno y seno de la suma de dos ángulo \({\theta}_{1}+{\theta}_{2}\) son.
seno-y-coseno-de-la-suma-de-dos-ángulos
Y siguiendo los mismos pasos que hemos dado para la obtención del seno y coseno de la suma de dos ángulos, podemos obtener el seno y el coseno de tres, cuatro y n ángulos.
El seno y el coseno de la suma de tres ángulos es.
seno-y-coseno-de-la-suma-de-tres-ángulos
El seno y el coseno de la suma de cuatro ángulos es.
seno-y-coseno-de-la-suma-de-cuatro-ángulos
Y del seno y el coseno de la suma de dos, tres y cuatro ángulos, concluimos que el seno y el coseno de la suma de \(n\) ángulos es.
seno-y-coseno-de-la-suma-de-n-ángulos
Por último partiendo de las fórmulas para el seno y el coseno de la suma de \(n\) ángulos, vamos a encontrar una fórmula general para el caso particular, donde se cumple que.
\({\theta}_{1}={\theta}_{2}={\theta}_{3}\:\cdot \cdot {\theta}_{n-1}={\theta}_{n}=\theta\)
Por lo que se cumple que.
\({\theta}_{1}+{\theta}_{2}+\cdot \cdot{\theta}_{n-1}+{\theta}_{n}=n\theta\)
\({\theta}_{1}+{\theta}_{2}+\cdot \cdot{\theta}_{n-1}=\left[n-1\right]\theta\)
Así que sustituyendo las relaciones anteriores  en las fórmulas que permiten calcular el seno y el coseno de la suma de \(n\) ángulos vamos a tener.
Ecuación-7
Así que el seno y el coseno de \(n\) veces un ángulo \(\theta\) es.
Coseno-y-seno-de-n-veces-un-ángulo
Veamos algunos ejercicios aplicado a este tema.
1- Hallar fórmulas que permitan calcular el seno y el coseno del doble, triplo y cuatruplo de un ángulo \(\theta\).
Solución:
Primero para obtener el seno y el coseno del doble de un ángulo, hacemos uso de la fórmula para el seno y el coseno de \(n\) veces un ángulo, así que como buscamos el doble del ángulo \(\theta\)  tomamos \(n=2\) por lo que \(n-1=1\).
Ecuación
Así que el seno y el coseno del doble de un ángulo es.
Coseno-y-seno-del-doble-de-un-ángulo
Hacemos lo mismo para determinar el seno y el coseno del triplo de un ángulo, tomamos \(n=3\)\(n-1=2\) y hacemos estas sustituciones en la fórmulas generales para obtener el seno y el coseno de \(n\) veces un ángulo \(\theta\).
Ecuación
Ahora sustituimos \(\sin{2\theta}\) y \(\cos{2\theta}\).
Ecuación
Así que el seno y el coseno del triplo de un ángulo es.
Coseno-y-seno-del-triplo-de-un-ángulo
Por último para calcular el cuatruplo de un ángulo tomamos \(n=4\)\(n-1=3\), y sustituimos en la fórmula del seno y el coseno de \(n\) veces un ángulo.
Ecuación
Y el seno y el coseno del cuatruplo de un ángulo es.
 Coseno-y-seno-del-cuatruplo-de-un-ángulo
2- Hallar una fórmula para el seno y el coseno de la suma de cinco ángulos de diferentes medidas
Solución:
Para esto tomamos la fórmulas que nos permite calcular el seno y el coseno de la suma de \(n\) ángulos, tomando \(n=5\)\(n-1=4\) y sustituimos.
Coseno-y-seno-de-la-suma-de-cinco-ángulos
Y aunque las expresiones para el seno y el coseno de la suma de 5 ángulos se puede amplificar mas obteniendo el coseno y el seno de la suma de 4 ángulos, y luego obteniendo el coseno y el seno de la suma de 3 ángulos, preferimos no continuar ya que esta sería una expresión matemática bien larga.
Vea también
Rotación de ejes coordenados