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martes, 22 de noviembre de 2016

¿Como averiguar analíticamente si un sistema de ecuaciones en dos variables tiene solución sin resolver por ningún método?

Libreta-de-ecuaciones
Vamos a ver alguna técnicas de análisis para saber antes de embarcarnos en una resolución de un sistema de ecuaciones en dos variables si el sistema de ecuaciones tiene solución única, tiene soluciones infinitas o sencillamente no tiene solución.

¿Cuando un sistema de ecuaciones no tiene solución?
Si tenemos dos ecuaciones lineales cuyos coeficientes son \(\left[a,b,c\right]\)\(\left[d,e,f\right]\).
Sistema-de-ecuación
Si se cumple la primera condición que establece que \(\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=k\) entonces comprobamos la segunda condición que establece que \(\frac{c}{f}\ne k\) entonces si ambas condiciones se cumplen podemos decir que este sistema de ecuaciones no tiene solución y los sistemas que no tienen solución se conocen como sistemas incompatible.
O también si se cumple la primera condición \(\frac{d}{a}=\frac{e}{b}=k\) y confirmamos que \(\frac{f}{c}\ne k\) entonces el sistema de ecuación no tiene solución.
Nota: La segunda condición solo se analiza si se cumple la primera condición.
Ejemplo:
1- Determinar si el siguiente sistema de ecuaciones tiene solución.
Sistema-de-ecuación
Solución:
Vamos a comprobar si se cumple la primera condición dividiendo los coeficientes de la variable \(x\) de la primera ecuación entre el coeficiente \(x\) de la segunda ecuación, y comparamos esto con la división del coeficiente de \(y\) de la primera ecuación entre el coeficiente \(y\) de la segunda ecuación.
\(\begin{align*} \frac{3}{2}\ne \frac{4}{7} \end{align*}\)
\(\begin{align*} 1.5\ne 0.5715 \end{align*}\)
Como la división de los coeficientes de \(x\) no es igual a la división de los coeficientes de \(y\), ya no tenemos que recurrir a la segunda condición para decir con certeza que este sistema de ecuación tiene solución que puede única o infinita.
2-Determinar si el siguiente sistema de ecuaciones no tiene solución
Sistema-de-ecuación
Solución:
Primero comprobamos si la primera condición para que este sistema no tenga solución se cumple.
\(\begin{align*} \frac{6}{3}= \frac{8}{4}=2 \end{align*}\)
Como se cumple la primera condición, confirmamos si la segunda condición se cumple  es decir.
\(\begin{align*} \frac{5}{1}\ne 2 \end{align*}\)
Por tanto se cumple la primera y la segunda condición por lo que concluimos que este sistema no tiene solución y es un sistema incompatible.

¿Cuando un sistema de ecuaciones tiene soluciones infinitas?
Si tenemos un sistema de ecuación en donde los coeficientes de la primera y la segunda ecuación son \(\left[a,b,c\right]\)\(\left[d,e,f\right]\) respectivamente.
Sistema-de-ecuación
Analíticamente si se cumple la primera condición \(\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=k\) y confirmamos la segunda condición que establece que \(\frac{c}{f}= k\), entonces este sistema de ecuación tiene soluciones infinitas y es un sistema compatible indeterminado.
Ejemplo:
1- Determinar si el sistema de ecuación siguiente tiene soluciones infinitas.
Sistema-de-ecuación
Solución:
Averiguamos si se cumple la primera condición.
\(\begin{align*} \frac{10}{-2}=\frac{5}{-1}=-5 \end{align*}\)
Como se cumple la primera condición, comprobamos si la segunda condición se cumple.
\(\begin{align*} \frac{-5}{1}=-5 \end{align*}\)
Y como se cumple la primera y la segunda condición entonces concluimos que este sistema de ecuación tiene soluciones infinitas y por tanto este sistema es compatible indeterminado.

¿Cuando un sistema de ecuaciones tiene solución única?
Un sistema con solución única es aquel que cuenta con una sola solución.
Si tenemos un sistema de ecuación en donde los coeficientes de la primera y segunda ecuación son \(\left[a,b,c\right]\)\(\left[d,e,f\right]\) respectivamente
Sistema-de-ecuación
Si se cumple la condición \(\frac{a}{d}\ne \frac{b}{e}\) entonces concluimos que este sistema tiene una sola solución y por tanto es un sistema compatible determinado.
Ejemplo.
1- Determinar si el sistema de ecuación siguiente tiene solución única.
Sistema-de-ecuación
Solución:
Averiguamos si se cumple la condición para que un sistema tenga solución única.
\(\begin{align*} \frac{10}{2}\ne \frac{5}{-1} \end{align*}\)
Y como se cumple fielmente la condición concluimos que este sistema de ecuación tiene una sola solución y por tanto este es un sistema compatible determinado.
2- Determinar analíticamente si el siguiente sistema de ecuación tiene solución única, no tiene solución o tiene solución infinita.
Sistema-de-ecuación
Solución:
Primero evaluamos si se cumple la condición que debe de existir para que el sistema tenga una única solución.
\(\begin{align*} \frac{8}{2}=\frac{-4}{-1} \end{align*}\)
Y como no se cumple descartamos que tenga solución única, así que solo nos quedan dos posibilidades, que el sistema no tenga solución o que el sistema tenga solución infinita.
Entonces evaluaremos las condiciones para que el sistema no tenga solución.
\(\begin{align*} \frac{8}{2}=\frac{-4}{-1}=4 \end{align*}\)
Como se cumple una de las condiciones, evaluamos la segunda que establece que la división de los coeficientes independientes debe ser diferente de 4.
\(\begin{align*} \frac{20}{5} = 4 \end{align*}\)
Por tanto descartamos que este sistema no tenga solución.
Así que por eliminación sabemos que este sistema tiene soluciones infinitas, y eso lo confirmaremos analíticamente evaluando que se cumplan las condiciones para que esto sea cierto.
\(\begin{align*} \frac{8}{2}=\frac{-4}{-1}=4 \end{align*}\)
Como se cumple la primera condición confirmamos que también se cumpla la segunda.
\(\begin{align*} \frac{20}{5}=4 \end{align*}\)
Y como se cumplen las condiciones queda confirmado analíticamente que este sistema tiene soluciones infinitas y por tanto es un sistema compatible indeterminado.
Vea también
Solución de un sistema de ecuaciones por el método de sustitución
Solución de un sistema de ecuaciones por el método de igualación
Solución de un sistema de ecuaciones por el método de reducción