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viernes, 11 de noviembre de 2016

Funciones trigonométricas de 45 grados

Primero empecemos este post definiendo las seis funciones trigonométricas básicas, como son el seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante que se definen como:
\(\begin{align*} &\textrm{seno}&=&\frac{\textrm{lado opuesto}}{\textrm{hipotenusa}}\\ &\textrm{coseno}&=&\frac{\textrm{lado adyacente}}{\textrm{hipotenusa}}\\ &\textrm{tangente}&=&\frac{\textrm{lado opuesto}}{\textrm{lado adyacente}}\\ &\textrm{cotangente}&=&\frac{\textrm{lado adyacente}}{\textrm{lado opuesto}}\\ &\textrm{secante}&=&\frac{\textrm{hipotenusa}}{\textrm{lado adyacente}}\\ &\textrm{cosecante}&=&\frac{\textrm{hipotenusa}}{\textrm{lado opuesto}}\end{align*}\)
Si las medidas de un triángulo rectángulo \(\Delta ABC\) son \(a\)\(b\)\(c\), y \(\beta\) uno de sus ángulos internos, entonces las funciones trigonométricas para el ángulo \(\beta\) son:
Triángulo-rectángulo
\(\begin{align*} &\sin{\beta}&=&\frac{a}{c}\\ &\cos{\beta}&=&\frac{b}{c}\\ &\tan{\beta}&=&\frac{a}{b}\\ &\cot{\beta}&=&\frac{b}{a}\\ &\sec{\beta}&=&\frac{c}{b}\\ &\csc{\beta}&=&\frac{c}{a}\end{align*}\)
Pero en este artículo lo que nos interesa es conocer las funciones trigonométricas de un ángulo de \({45}^{\circ}\), así que después de repasar las definiciones de las funciones trigonométricas básicas vamos a concentrarnos en las funciones trigonométricas de un ángulo de \({45}^{\circ}\).
Lo primero que haremos es construir un cuadrado \(ABCD\) cuyos lados miden \(l\), que partiremos por la mitad trazando una línea auxiliar que va desde el vértice \(A\) al vértice \(C\) que corresponde a una de las diagonales del cuadrado.
Como los cuatros ángulos internos de un cuadrado miden 90 grados, el propósito de la linea \(\overline{AC}\) es partir por la mitad el ángulo de \({90}^{\circ}\), ya que si dividimos el ángulo de \({90}^{\circ}\) entre dos obtendremos el ángulo de \({45}^{\circ}\) que nos interesa y el cuadrado se nos dividirá en dos triángulos rectángulos tal como muestra la siguiente figura.
Cuadrado-ABCD
Y después de dividir en dos el cuadrado \(ABCD\) una de sus mitades se ve como muestra la siguiente gráfica.
Triángulo-ABC
Y antes de conocer las funciones trigonométricas de un ángulo de 45 grados vamos a averiguar el valor del lado \(\overline{AC}\) que corresponde a la hipotenusa, por lo que para averiguar este valor usaremos el teorema de Pitágoras que establece que.
\({\overline{AC}}^{2}={\overline{AB}}^{2}+{\overline{BC}}^{2}\)
Por lo que si despejamos \(\overline{AC}\), aplicando raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad.
\(\begin{align*} &\sqrt{{\overline{AC}}^{2}}&=&\sqrt{{\overline{AB}}^{2}+{\overline{BC}}^{2}} \\&\overline{AC}&=&\sqrt{{\overline{AB}}^{2}+{\overline{BC}}^{2}} \end{align*}\)
Así que como \(\overline{AB}=l\)\(\overline{BC}=l\), entonces \(\overline{AC}\) es.
Teorema-de-Pitágoras-y-resolución
Así que conociendo el lado \(\overline{AC}\), ahora sí, vamos por las funciones trigonométricas de 45 grados.
Triángulo-para-la-obtención-de-las-funciones-trigonométricas-de-45-grados
Funciones-trigonométricas-de-45-grados
En resumen las funciones trigonométricas de un ángulo de 45 son:
\(\sin{{45}^{\circ}}\)\(\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{2}} \end{align*}\)
\(\cos{{45}^{\circ}}\)\(\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{2}} \end{align*}\)
\(\tan{{45}^{\circ}}\)\(\begin{align*} 1 \end{align*}\)
\(\cot{{45}^{\circ}}\)\(\begin{align*} 1 \end{align*}\)
\(\sec{{45}^{\circ}}\)\(\begin{align*} \sqrt{2} \end{align*}\)
\(\csc{{45}^{\circ}}\)\(\begin{align*} \sqrt{2} \end{align*}\)

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