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martes, 15 de noviembre de 2016

Funciones trigonométricas de 60 grados

Vamos a echarle un vistazo a las funciones trigonométricas de 60 grados, pero antes de conocer las funciones trigonométricas de 60 grados vamos a refrescar nuestros conocimiento de trigonometría definiendo las funciones trigonométricas básicas.
\(\begin{align*} &\textrm{seno}&=&\frac{\textrm{lado opuesto}}{\textrm{hipotenusa}}\\ &\textrm{coseno}&=&\frac{\textrm{lado adyacente}}{\textrm{hipotenusa}}\\ &\textrm{tangente}&=&\frac{\textrm{lado opuesto}}{\textrm{lado adyacente}}\\ &\textrm{cotangente}&=&\frac{\textrm{lado adyacente}}{\textrm{lado opuesto}}\\ &\textrm{secante}&=&\frac{\textrm{hipotenusa}}{\textrm{lado adyacente}}\\ &\textrm{cosecante}&=&\frac{\textrm{hipotenusa}}{\textrm{lado opuesto}}\end{align*}\)
Si tenemos un triángulo rectángulo \(\Delta ABC\) donde el lado opuesto al ángulo \(\beta\) es \(a\), el lado adyacente es \(b\) y la hipotenusa es \(c\) entonces las funciones trigonométricas para el ángulo \(\beta\) son:
Triángulo-rectángulo
\(\begin{align*} &\sin{\beta}&=&\frac{a}{c}\\ &\cos{\beta}&=&\frac{b}{c}\\ &\tan{\beta}&=&\frac{a}{b}\\ &\cot{\beta}&=&\frac{b}{a}\\ &\sec{\beta}&=&\frac{c}{b}\\ &\csc{\beta}&=&\frac{c}{a}\end{align*}\)  .
Así que tomaremos como modelo las funciones trigonométricas del ángulo \(\beta\), y ahora nos proponemos encontrar las funciones trigonométricas de 60 grados, pero para esto vamos a auxiliarnos de la gráfica de un triángulo equilátero el cual partiremos por la mitad para de esta manera obtener una de las mitades de esta partición que representa un triángulo rectángulo que cuenta con un ángulo agudo de 60 grados.
Triángulo-equilátero
Después de extraer una de las mitad del triangulo equilátero \(\Delta ABC\) la gráfica se ve así.
Triángulo-rectángulo-con-ángulo-agudo-de-60-grados
Así que vamos a determinar la medida del ´lado \(AD\), para esto usaremos el teorema de Pitágoras que establece que.
\({\left|AC\right |}^{2}={\left|AD\right|}^{2}+{\left | DC \right | }^{2}\)
Por lo que despejando \(\left|AD\right|\) y sustituyendo los valores de \(\left|DC\right|=l/2\)\(\left|AC\right|=l\) en el despeje obtendremos el valor de \(\left|AD\right|\), como se muestra a continuación.
Lado-de-un-triángulo-usando-el-teorema-de-Pitágoras
Y ya conociendo el valor de \(\left|AD\right|\) procedemos a encontrar las funciones trigonométricas de un ángulo de 60 grados, tal como se muestra a continuación.
Funciones-trigonométricas-de-60-grados
Funciones-trigonométricas-de-60-grados
En conclusión las funciones trigonométricas de 60 grados son:
\(\sin{{60}^{\circ}}\)\(\begin{align*}\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}\)
\(\cos{{60}^{\circ}}\)\(\begin{align*}\frac{1}{2} \end{align*}\)
\(\tan{{60}^{\circ}}\)\(\begin{align*}\sqrt{3} \end{align*}\)
\(\cot{{60}^{\circ}}\)\(\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{3}} \end{align*}\)
\(\sec{{60}^{\circ}}\)\(\begin{align*}2 \end{align*}\)
\(\csc{{60}^{\circ}}\)\(\begin{align*}\frac{2}{\sqrt{3}} \end{align*}\)

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