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viernes, 18 de noviembre de 2016

Identidades trigonométricas

Vamos a ver en este post como verificar el cumplimiento de una identidad trigonométrica, y primero que todo debemos decir que una identidad trigonométrica son dos expresiones trigonométricas que se ven diferentes pero que son iguales entre si.
Dentro de las funciones trigonométricas están las funciones trigonométricas Pitagóricas que son aquellas que para su deducción es necesario usar el teorema de Pitágoras.
\(\begin{align*}  {sin}^{2}\theta + {cos}^{2}\theta=1  \end{align*}\)
\(\begin{align*}  {tan}^{2}\theta + 1={sec}^{2}\theta  \end{align*}\)
\(\begin{align*}  1+{cot}^{2}\theta ={csc}^{2}\theta  \end{align*}\)
También están las identidades recíprocas tales como.
\(\begin{align*} \sin{\beta}=\frac{1}{\csc{\beta}} \end{align*}\)
\(\begin{align*} \cos{\beta}=\frac{1}{\sec{\beta}} \end{align*}\)
\(\begin{align*} \tan{\beta}=\frac{1}{\cot{\beta}} \end{align*}\)
\(\begin{align*} \cot{\beta}=\frac{1}{\tan{\beta}} \end{align*}\)
\(\begin{align*} \sec{\beta}=\frac{1}{\cos{\beta}} \end{align*}\)
\(\begin{align*} \csc{\beta}=\frac{1}{\sin{\beta}} \end{align*}\)
Y también están las identidades por cocientes.
\(\begin{align*} \tan{\beta}=\frac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}} \end{align*}\)
\(\begin{align*} \cot{\beta}=\frac{\cos{\beta}}{\sin{\beta}} \end{align*}\)
Mientras que otras identidades trigonométricas son el resultado de evaluar otros tipos de métodos, tales como la funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos, tres, cuatro y n ángulos, así como también las funciones trigonométricas de n veces un ángulo.
Identidades-trigonométricas Identidades-trigonométricas
Y existen incontables identidades trigonométricas, así que vamos en este post a ver también como verificar el cumplimiento de una identidad trigonométrica y para esto lo que hacemos es reducir el miembro de la identidad trigonométrica más compleja a el miembro de la identidad considerado más simple veamos algunos ejemplos.

1- Verificar que.
\(\begin{align*} \cos{\theta}\equiv\frac{\sin{\theta}+\cot{\theta}}{\tan{\theta}+\csc{\theta}} \end{align*}\)
Solución:
Vamos a tomar el lado derecho de la igualdad como la parte compleja de la identidad y usando funciones trigonométricas básicas vamos a llegar a la identidad izquierda.
Sabemos que \(\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)\(\cot{\theta}=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\) y que \(\csc{\theta}=\frac{1}{\sin{\theta}}\), así que sustituimos esto y luego simplificamos.
 Verificación-del-cumplimiento-de-una-identidad-trigonométrica
2- Verificar que.
\(\begin{align*} \frac{1-\sin{\beta}}{\cos{\beta}}\equiv \frac{\cos{\beta}}{1+\sin{\beta}}\end{align*}\)
Solución:
En este ejercicio tomaremos también el lado derecho de la identidad como el más complejo, y multiplicaremos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador que es \(1-\sin{\beta}\) y luego simplificamos.
Verificación-del-cumplimiento-de-una-identidad-trigonométrica

Vea también

Identidades trigonométricas pitagóricas

Funciones trigonométricas de 60 grados 

Seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de dos ángulos

Seno, coseno de dos, tres, cuatro y n ángulos y rotación de ejes coordenados