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martes, 29 de noviembre de 2016

Volumen de un cono usando cálculo integral

Vamos a ver en este artículo como deducir u obtener mediante el cálculo integral e infinitesimal la fórmula que nos permite calcular el volumen de un cono sólido.
Cono
Sabemos por geometría clásica que el volumen de un cono cuyo radio de la base es \(R\) y cuya altura es \(H\) es.
Volumen-de-un-cono
Lo primero que haremos es dibujar el esqueleto de un cono con el eje \(x\) pasando por el centro de la base del cono y el eje \(y\) coincide con la altura del cono como se muestra a continuación.
Esqueleto-de-un-cono
Lo primero que vamos a hacer es deducir la ecuación de la línea recta \(l\), para esto usaremos la notación punto-pendiente \(y=mx+b\), así que vamos a calcular \(m\)\(b\) como se muestra a continuación.
Observamos en el dibujo anterior que la recta \(l\) corta el eje \(x\) en el punto \({P}_{1}\left(R,0\right)\) y corta el eje \(y\) en el punto \({P}_{2}\left(0,H\right)\), así que con estos dos puntos vamos a calcular la pendiente \(m\) y la ordenada \(b\).
Pendiente-y-ordenada
Ya conocemos la ecuación de la recta \(l\), ahora como el radio \(r\) es igual a \(x\), lo próximo que haremos es despejar \(x\) de la ecuación de la recta \(l\).
Despeje-de-la-variable-x
Y ya estamos listos para empezar a trabajar con el volumen de un cono, y lo primero que diremos es que el volumen diferencial de un cono viene dado por la expresión \(dV=dA \cdot dy\), de donde sabemos que \(dA\) es igual a \(\pi \cdot {r}^{2}\), así que sustituyendo \(r\) por \(x\left(y\right)\) vamos a tener que.
Diferencial-del-volumen-de-un-cono
Y ahora el volumen \(V\) del cono será igual a la integral del lado derecho de la expresión diferencial en un intervalo de \(y\) que vaya desde \(y=0\) hasta \(y=H\).
Integral-para-el -cálculo-del-volumen-de-un-cono
Bueno y como para solucionar esta integral es más difícil desarrollar el cuadrado del binomio \(H-y\) mejor optaremos por utilizar la técnica de sustitución de variables, en donde tomaremos \(u=H-y\) y definiremos un nuevo intervalo de integración encontrado \(u\) cuando \(y=0\) y cuando \(u=H\) y buscaremos una expresión que sustituya \(dy\) para lo cual derivaremos \(u\) respecto de \(y\) y luego despejaremos \(dy\), y ya luego hacemos todas estas sustituciones en la expresión integral para el volumen de un cono.
Sustitución-de-variables-para-la-obtención-del-volumen-de-un-cono
Ya lo único que nos queda es integral usando las reglas básicas para la integral de una potencia y luego simplificar para obtener la fórmula que nos permite calcular el volumen de un cono.
Simplificación-de-la-integral-de-potencia
Y finalmente el volumen de un cono con un radio \(R\) y altura \(H\) es.
Volumen-de-un-cono

Veamos un ejemplo de aplicación de este tema.
Hallar el volumen de un cono con radio de 10cm y altura de 30cm.
Solución:
El problema nos da el radio de la base del cono, y nos da la altura del cono, así que solamente tenemos que usar la expresión que nos permite calcular el volumen de un cono y simplificar.
Resolución-de-problema-con-el-volumen-de-un-cono
Y el volumen de un cono con estas características es igual aproximadamente a \(3140{cm}^{3}\)
Vea también
Reglas básicas de integración

Técnica del cambio de variables

Despeje de una variable de una fórmula u ecuación

Ecuación de la recta