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viernes, 30 de diciembre de 2016

Parábola y circunferencia en combinación

En este post estaremos viendo como combinar los conceptos foco de una parábola, lado recto de una parábola , vértice de un parábola y ecuación canónica de una parábola con vértice en el origen y la ecuación general de la circunferencia, así como también la ecuación canónica de una circunferencia con centro \(C\left(h,k\right)\) en la resolución de un problema de geometría elemental.
Primero recordemos que la ecuación canónica para una parábola con vértice en el origen \(V\left(0,0\right)\), foco \(F\left(p,0\right)\) y cuyo eje coincide con el eje x es.

Gráfica-de-una-parábola
Como muestra la figura el lado recto de una parábola es el segmento de recta que comunica los puntos extremos A, B y el foco F, así que si la coordenada \(x\) del foco F es \(p\) que es la coordenada \(x\) de los puntos A y B, entonces las coordenadas \(y\) de los puntos extremos del lado recto AB son.
Puntos-extremos-del-lado-recto-de-una-parábola
Es importante dejar esto claro para que podamos usar estos conceptos en la resolución del siguiente problema.
Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola \({y}^{2}-8x=0\) y recrear el gráfico de la parábola y la circunferencia.
Solución:
Para encontrar la ecuación de una circunferencia debemos conocer como mínimo tres puntos por donde pase esta circunferencia, y para resolver este problema los tres puntos van a ser, el vértice de la parábola \(V\left(0,0\right)\) y los dos puntos extremos que deben ser igual a \(A\left(p,2p\right)\)\(B\left(p,-2p\right)\).
Sabemos que la ecuación de la parábola coincide con la forma canónica de una parábola con vértice en el origen de coordenadas \(\left(0,0\right)\), y cuyo eje parabólico coincide con el eje \(x\).
Forma-canónica-de-una-parábola
Ahora igualamos el coeficiente 8 a \(4p\) para encontrar la coordenada \(x\) del foco \(p\).
Foco-de-parábola
Ya conociendo el punto focal \(F\left(p,0\right)\) podemos calcular los puntos extremos del lado recto de la parábola, que son.
Puntos-extremos-de-lado-recto-de-la-parábola
Bueno conocemos el vértice de la parábola y los dos puntos extremos del lado recto de la parábola que son \(V\left(0,0\right)\)\(A\left(2,4\right)\)\(B\left(2,-4\right)\), y ya estamos listos para encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por estos tres puntos.

Ecuación-de-la-circunferencia
Y la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos de esta parábola es.
Ecuación-general-de-la-circunferencia
Pero para graficar esta ecuación es mucho más fácil expresarla en su forma canónico u ordinaria, así que ahora vamos a obtener la forma canónica de esta ecuación.
Ecuación-canónica-de-la-circunferencia
Podemos observar de la ecuación canónica que el radio es 5 y la coordenada del centro de la circunferencia es \(C\left(5,0\right)\), ahora si podemos mostrar la gráfica de la parábola y de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola.
Gráfico-de-la-parábola-y-la-circunferencia
Gráfico-de-la-parábola-y-la-circunferencia
Y curiosamente esta gráfica tiene cierta similitud con el ocular de un ojo humano !curioso, bien curioso¡.
parábola,-circunferencia-y-similitud-al-ocular-de-un-ojo

martes, 27 de diciembre de 2016

Desbloqueo de contraseña en la bios

Vamos en este post a tratar un tema de tecnología, en días pasados me disponía a abrir mi laptop marca Acer como normalmente lo hago, pero vaya sorpresa que me llevo cuando me aparece un mensaje dentro de una caja azul que decía algo similar a esto.
Harddisk Security
Primary Master----------Lock
Y cuando intenté entrar presionando la tecla "Enter", vaya sorpresa que me llevo, me sale otro cuadro azul pidiéndome que entre una contraseñas tal como el que se muetra en la siguiente imagen.
Entre-su-actual-contraseña
Pero el asunto era que yo no tenía esta contraseña, pues me acordé que días pasados le había prestado mi computador a un sobrino, así que le pregunté si él sabía algo de esto, y su repuesta fue negativa.
Turbado por este incidente empecé una investigación en internet, buscando algún tipo de ayuda respecto de este tema que permitiera entrar a mi computadora de manera normal otra vez, y les cuento que vi algunos tutoriales en youtube que arrojaban luz sobre el tema pero estaban en inglés lo cual no me servían tanto, así que de tanto buscar allí y acá encontré un video mudo en youtube que mostraba gráficas de como resolver este problema y debo dar mil gracias al creador de este video por poner en internet información realmente útil, básicamente en este post lo que hacemos es colocarle una voz a ese video mediante la forma en que resolví mi problema con la ayuda de este youtuber para que otros que tengan este mismo problema puedan resolverlo.
Retomando el tema, cuando me apareció el cuadro azul mencionado más arriba, lo primero que hice fue introducir una contraseñas (password) cualquiera y presioné enter, con lo cual me apareció un mensaje en pantalla similar a este.
Contraseña-incorrecta
Así que como dice el mensaje en inglés "Press any key", presione cualquier tecla, eso hice, y volvió a aparecer el mensaje de una caja azul "Enter Currrent Password", así que volví a entrar una contraseñas cualquiera y volvió a aparecerme el mensaje "Password Check Fall", así que volví nueva vez a presionar una tecla cualquiera, volviéndome a aparecer por tercera vez el mensaje "Enter Currrent Password" y por tercera vez escribí cualquier cosa que se me ocurriera y esta tercera vez me apareció un mensaje en pantalla similar al de la siguiente imagen.
Seleccione-un-ítem
Entonces seleccioné el ítem que dice "Enter Unlock Password" que significa [Entre la contraseña de desbloqueo], una vez mas hice enter en este ítem, me salio un cuadro de dialogo similar al de la siguiente imagen.
Entre-contraseña-de-desbloqueo
Aquí es donde está la parte importante, yo escribí el número que tiene la flecha roja en una libreta 30321455, y entonces me fuí a otro computador y navegué hasta la página www.bios-pw.org una vez dentro de esta página entre el número 30321455 donde dice "Enter your code"[Entre su código], y luego presioné "Get password"[Obtener contraseñas], tal como se observa en la imagen.
Entre-su-código
Así que tomé los números encerrados en el óvalo rojo 24579801, y cuando la pantalla me presentó una vez más el mensaje "Enter Unlock Password(key:30321455)", entonces introduje la contraseñas 24579801 que me dio la página www.bios-pw.org, y gualá problema resuelto.
Entrando-contraseña-de-desbloqueo
Así que aquí les dejo el enlace del video mudo del youtuber antonio sturione que sin palabras me ayudó a resolver este problema .

viernes, 23 de diciembre de 2016

Desafío de física 4

Un carro se mueve desde un punto A hasta un punto E, el carro se mueve con rapidez constante de \(4m/s\) en el tramo AB durante 20s, a partir de B acelera a \(2m/{s}^{2}\) recorriendo una distancia de 100m hasta el punto C, se mantiene a la misma rapidez hasta llegar a D durante un tiempo de 30s, y por último desacelera uniformemente a razón de \(1m/{s}^{2}\) hasta detenerse en E.a)¿Distancia recorrida en el tramo AB? b) ¿Tiempo de recorrido de BC? c) ¿Velocidad en el punto C?  d) ¿Distancia CD? e) ¿Tiempo de recorrido de DE? f) ¿Distancia DE? g) ¿Distancia de recorrido total AE? h) ¿Tiempo en que se recorre la distancia AE?
Pista-de-recorrido-AE
Solución:
a) El carro se mueve a velocidad constante en el tramo AB, así que la distancia de recorrido la podemos calcular con la fórmula \({x}_{AB}=v\cdot t\).

b) Como el behículo se mantuvo a velocidad constante en el tramo AB, cuando este inicia el tramo BC la velocidad inicial es la misma que mantuvo en el tramo AB es decir \({v}_{0}=4m/s\) y sabemos que en el tramo BC acelera a razón de \(2m/{s}^{2}\), así que tomando la relación de cinemática que relaciona la velocidad inicial, la aceleración, la posición y el tiempo \(t\) de un objecto en movimiento con aceleración constante, vamos a tener.
Obtención-del-tiempo
Resolvemos la ecuación cuadrática para la variable \(t\), tomando el valor positivo de \(t\).
Obtención-del-tiempo
Y el tiempo en que recorre BC es \(t=8.2s\).
c) Tenemos que la velocidad inicial es \({v}_{0}=4m/s\), la aceleración es \(2m/{s}^{2}\) y el tiempo es \(t=8.2s\), así que la velocidad final la calcularemos usando la relación de cinemática que relaciona la velocidad inicial, la aceleración, el tiempo con la velocidad final.
Obtención-de-la-velocidad-en-C
Y la velocidad en el punto C es de \(20.4m/s\).
d) Como el carro se mantiene a velocidad constante en el segmento CD, lo que indica que el auto mantiene la misma velocidad en cualquier punto de la trayectoria CD, y sabemos que en el punto C la velocidad es \(20.4m/s\), entonces esta es la velocidad a la que se mueve en CD y como lo hace durante 30s entonces la distancia CD es.
Obtención-de-la-distancia-CD
Y la distancia de recorrido de CD es de 612m.
e) Como la velocidad de \(20.4m/s\) en el tramo CD se mantuvo constante, entonces esta velocidad es con la que se entre en el tramo DE, así que la tomaremos como la velocidad inicial del carro, como el carro se detiene en el punto E la velocidad final es 0, y sabemos que desacelera a razón \(1m/{s}^{2}\), así que una vez mas buscamos una relación cinemática que relacione la velocidad inicial , final, la aceleración y la variable meta el tiempo, la aceleración la tomaremos negativa ya que el auto está perdiendo velocidad.
Obtención-del-tiempo
f) La distancia de recorrido del tramo DE la calcularemos haciendo las sustituciones de lugar en la ecuación de cinemática que relaciona el tiempo, la aceleración, la velocidad inicial y la variable meta la posición, sabemos que la velocidad inicial es \(20.4m/s\), la aceleración \(-1m/{s}^{2}\) y el tiempo es \(20.4s\), así que la posición o distancia DE es.
Obtención-de-la-distancia-DE
Y la distancia recorrida DE es de 199.92m.
g) Ahora hallaremos la distancia que recorrió el carro del punto A al punto E que va a ser igual a la suma de las distancias recorridas en los tramos AB, BC, CD y DE osea.
Obtención-de-la-distancia-AE
El carro recorre una distancia total de 991.92m.
h) El tiempo total que toma realizar el viaje desde A hasta E es igual a la suma de los tiempos en los tramos AB, BC, CD y DE por tanto el tiempo total va a ser igual a.
Obtención-del-tiempo-total
Y el tiempo total en que se hizo el viaje fue de 78.6 segundos.
Y así finalizamos la resolución de un problema de largo metraje, en cada una de las soluciones obtenidas hacemos uso de muchos recursos matemáticos y físicos, así que les dejo varios enlaces con algunos artículos que ofrecen un apoyo para la mayor comprensión de este artículo.

Vea también

Movimiento en línea recta

Despeje de una variable

Cálculo integral y fórmula de movimiento rectilíneo

Desafío de física 3

miércoles, 21 de diciembre de 2016

Desafío de física 3

Un objeto se suelta del reposo desde una altura de 40 metros, atravesando un tramo de 10 metros horizontales con un coeficiente de fricción cinética de 0.20 como se muestra en la imagen.¿Cuantas veces cruzará el objeto el tramo horizontal de 10m antes de detenerse?¿A que distancia del punto A se detiene el objeto?
Montaña
La ley de conservación de energía plantea que la energía mecánica en un punto es igual a la energía mecánica en otro es decir si tenemos un punto 1 y un punto 2, para que la energía se conserve debe cumplirse que.
\({E}_{1}={E}_{2}\)
Ahora bien si en el tramo de distancia que el objecto atraviesa del punto 1 al 2 actúa actúa alguna fuerza disipadora de energía que produce un trabajo \(W\) entonces se cumple que:
\({E}_{1}-W={E}_{2}\)
Y como es evidente la energía en el punto 2 será menor que la energía en el punto 1, y en la medida que el objecto se mueva de 1 a 2 atravesando la zona de fricción como muestra la imagen, en esa misma medida será \({E}_{2}\) cada vez menor, aproximándose a cero.
En el sistema observado en la figura de inicio de este artículo actúa la fuerza conservadora de la gravedad que se transforma en energía cinética y la fuerza disipadora de energía como lo es la fricción. La energía mecánica de una partícula es la suma de todas las energías involucradas en un punto de la trayectoria de un objeto sean estas conservadoras o disipadoras de energía, la energía potencial gravitatoria y la energía cinética, si \(U\) es la energía potencial gravitatoria y \(k\) es la energía cinética entonces la energía mecánica en un punto determinado es.
\(E=U+k\)
Pero si \(U=mgh\)\(k=m\frac{{v}^{2}}{2}\) entonces la energía mecánica es igual a.
\(\begin{align*} E=mgh+\frac{m{v}^{2}}{2} \end{align*}\)
La energía potencial en el punto 1 es \(mgh\) y como el objeto se suelta del reposo entonces la energía cinética es igual a \(0\), así que la energía mecánica a una altura \(h\) es igual a 
\({E}_{1}=mgh+0\)
\({E}_{1}=mgh\)
El trabajo realizado por la fuerza disipadora de energía como lo es la fricción es igual a:
\({W}_{f}={f}_{k}x\)
\({W}_{f}={u}_{k}nx\)
\(n=mg\)
\({W}_{f}={u}_{k}mgx\)
Pero observando el sistema mostrado en la imagen nos damos cuenta de que el objecto cada vez que pase por la zona de fricción la energía mecánica en 1 disminuirá en \(-{W}_{f}\), así que sabemos que después de que el objecto pase una cantidad \(n\) de veces por la zona de fricción la energía mecánica inicial se reducirá a cero, así que este análisis nos permite llegar a la siguiente expresión.
\({E}_{1}-n{W}_{f}=0\)
Por lo que para saber la cantidad de veces que el objecto atravesará el tramo con fricción lo que haremos simplemente es despejar \(n\).
Valor de n
Así que como la altura es \(h=40m\)\(x=10m\)\({u}_{k}=0.20\) entonces la cantidad de veces \(n\) que el objecto atravesará el tramo horizontal de 10m es.
Valor de n
Por tanto el objeto atravesará el tramo horizontal de 10m 20 veces antes de detenerse.

Ahora bien sabemos que para el objeto quedar en el punto A es necesario que el objecto cruce una cantidad par de veces el tramo de 10m y como \(n\) es par, concluimos que el objecto se detiene al inicio del tramo horizontal es decir exactamente en el punto A.

Vea también

Trabajo y energía cinética

Desafío de física 2

viernes, 16 de diciembre de 2016

Longitud de una circunferencia

En este post vamos a estar aplicando las expresiones de integrales definidas para la longitud de un arco de una curva, vamos a deducir la fórmula que nos permite calcular la longitud de la circunferencia de un círculo.
Circunferencia-roja
Muchos de los lectores de este blog sabemos que la longitud de la circunferencia de un círculo viene dada por.
Fórmula de la longitud de una circunferencia con radio R
Lo que haremos en este post es llegar a esta fórmula usando la expresión integral para la longitud de una curva en coordenadas rectangulares, parametricas y polares, debemos decir que este artículo es una continuación del artículo [Longitud de un arco de una curva] por lo que le sugerimos para una mayor comprensión de este artículo ver ese artículo.

Longitud de una circunferencia usando coordenadas rectangulares
La ecuación que representa el lugar geométrico de una circunferencia con su centro en el punto \(\left(0,0\right)\)
 es.
\({x}^{2}+{y}^{2}={R}^{2}\)
La longitud de un arco de una curva en coordenadas rectangulares es.
Longitud-del-arco-de-una-curva
Lo primero que hacemos es despejar \(y\) y derivarla respecto de \(x\) para así obtener el valor de \(y'\).
Despeje-de-y-y-su-derivada
Ahora sustituiremos en la expresión (1)  \(y'\) y tomaremos 
\(a=0\) y \(b=R\) que representa el intervalo en donde la longitud de la circunferencia es una cuarta parte de su longitud total, entonces la longitud total de una circunferencia será igual a 4 veces la expresión del miembro derecho de la expresión (1) .
Obtención-de-la-longitud-de una-circunferencia
Obtención-de-la-longitud-de-una-circunferencia
Y como se puede ver luego de una ardua simplificación hemos llegados a la fórmula que permite calcular la longitud de la circunferencia de un círculo cuyo radio es \(R\).
Fórmula-que-permite-calcular-la-longitud-de-una-circunferencia-de-radio-R

Longitud de una circunferencia usando usando coordenadas parametricas
Para obtener la longitud de la circunferencia usando coordenadas expresadas en forma parametrica, tomaremos \({x}^{2}=t\) por tanto \(x\)\(y\) en términos de \(t\) son.
x-e-y-en-función-de-t
Así que la derivadas de \(x\)\(y\) respecto de \(t\) son.
Derivadas-de-x-e-y-respecto-a-t
Como \(x\) está expresada en términos de \(t\), tenemos que redefinir el intervalo de integración que va a ser.
Intervalo-de-integración-parametrica
Así que ahora estamos listos para empezar a integral para obtener la longitud de una circunferencia con coordenadas en forma parametricas.
Longitud-de-una-circunferencia-en-coordenadas-parametricas
Longitud-de-una-circunferencia-en-coordenadas-parametricas
Longitud-de-una-circunferencia-en-coordenadas-parametricas
Y una vez más hemos llegado a la fórmula que nos permite obtener la longitud de la circunferencia de un círculo con radio \(R\).
Fórmula-que-permite-calcular-la-longitud-de-una-circunferencia-de-radio-R

Longitud de una circunferencia usando coordenadas polares
Para hallar la longitud de la circunferencia usando coordenadas polares vamos a hallar la ecuación de un círculo en coordenadas polares, para esto sustituiremos \(x\)\(y\) por \(r\cos{\theta}\)\(r\sin{\theta}\) respectivamente en la ecuación de una circunferencia en coordenadas rectangulares y simplificamos.
Ecuación-de-una-circunferencia-en-coordenadas-polares
Ya sabiendo que la ecuación que  representa una circunferencia con centro \(\left(0,0\right)\) en coordenadas polares es \(r=R\) derivamos \(r\) respecto de \(\theta\), y sabiendo que el giro de una circunferencia va desde un ángulo \(\theta=0\) hasta \(\theta=2\pi\) , entonces integramos en el intervalo que va de \(\theta=0\) hasta \(\theta=2\pi\).
Longitud de una circunferencia en coordenadas polares
Y una vez más llegamos a la fórmula que nos permite calcular la longitud de la circunferencia de un círculo con radio \(R\) en coordenadas polares es.
Fórmula-que-permite-calcular-la-longitud-de-una-circunferencia-de-radio-R
Como se ha podido notar la forma más simple para calcular la longitud de una circunferencia es en coordenadas polares, por último debemos decir que muchas de la expresiones que se usan en este articulo fueron desarrollada en el artículo [Longitud de un arco de una curva]. 


Vea también

Longitud de un arco de una curva

Identidades trigonométricas pitagoricas

Reglas de derivación e integración

martes, 13 de diciembre de 2016

Longitud de un arco de una curva

Vamos a trabajar en este post en la deducción de la longitud de un arco de una curva en un intervalo finito.
Para empezar debemos decir que si tenemos dos puntos \({P}_{1}\left({x}_{1},{y}_{1}\right)\)\({P}_{2}\left({x}_{2},{y}_{2}\right)\) dibujado en una gráfica, la distancia entre estos dos puntos es.
Distancia-entre-dos-puntos
Pero si el punto \({P}_{2}\) tiende o se acerca al punto \({P}_{1}\) en esa misma medida \({x}_{2}\rightarrow {x}_{1}\) y por tanto \(\Delta x={x}_{2}-{x}_{1}\) también tiende a cero \(\Delta x\rightarrow 0 \).
Así que reescribiendo la expresión que nos permite calcular la distancia entre dos puntos vamos a tener que la distancia entre ellos es.
Distancia-diferencial-de-s
Ahora bien vamos a dividir los dos miembros de esta expresión entre \(\Delta x\).
Simplificación-de-expresión
Ahora vamos a obtener los límites de los dos miembros de la igualdad cuando \(\Delta x\rightarrow 0 \), teniendo presente que.
\(\begin{align*}\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta x}=\frac{ds}{dx}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}\end{align*}\)
Así que vamos a tener que:
Derivada-de-s
Y si la función \(y=f\left(x\right)\) es continua en un intervalo \(\left[a,b\right]\),y \(y'\) es derivable en este intervalo, entonces la longitud de un arco de una curva en un intervalo finito \(\left[a,b\right]\) es igual a la integral definida de miembro derecho de la expresión diferencial para \(s\).
Longitud-de-un-arco-de-una-curva
Longitud de un arco de una curva usando parámetros
Para obtener una expresión  de la longitud de una curva en donde \(x\) e \(y\) estén expresadas en términos de un parámetro \(t\), lo que haremos es expresar \(y'\) en términos de derivadas parametricas es decir.
Derivada-en-forma-parametrica
Así que reescribiremos la expresión de longitud de un curva en coordenadas rectangulares sustituyendo \(y'\) por su igual en forma parametrica.
ds-en-forma-parametrica
ds-en-forma-parametrica
Así que la longitud de un arco en donde \(x\)\(y\) están expresado en término de \(t\) en un intervalo de \(\left[{t}_{1},{t}_{2}\right]\) está dado por la integral.
Longitud-de-un-arco-en-forma-parametrica
Longitud de un arco de una curva dada en forma polar
Primero recordemos que el punto de coordenadas polares \(\left(r,\theta\right)\) es equivalente al punto de coordenadas rectangulares \(\left(rcos{\theta},rsin{\theta}\right)\), por lo tanto.
\(x=rcos{\theta}\)
\(y=rsin{\theta}\)
Por lo que entonces usaremos la expresión para la longitud de un arco cuando \(x\)\(y\) están en forma parametrica sustituyendo el parámetro \(t\) por \(\theta\), de donde entonces la expresión se transforma en.
Longitud-de-un-arco-en-forma-parametrica
Ahora lo que procede es hallar \(x'\left(\theta\right)\)\(y'\left(\theta\right)\).
derivada-de-x-e-y-respecto-de-theta
Ahora vamos a encontrar \({\left[x'\left(\theta\right)\right]}^{2}\)\({\left[y'\left(\theta\right)\right]}^{2}\).
Cuadrados-de-las-derivadas-de-x-e-y-respecto-de-theta
Y sumaremos ahora \({\left[x'\left(\theta\right)\right]}^{2}+{\left[y'\left(\theta\right)\right]}^{2}\)
Suma-de-los-cuadrados-de-las-derivada-de-x-e-y-respecto-de-theta
Así que la longitud de un arco en coordenadas polares en un intervalo \(\left[{\theta}_{1},{\theta}_{2}\right]\) es.
Longitud-de-un-arco-de-una-curva-en-coordenadas-polares
Nota: En un próximo artículo estaremos abordando de manera puntual algún ejemplo que ilustre la aplicación de este artículo, así que cuando este artículo esté listo dejaremos un enlace en este artículo, pero si usted desea ser el primero en ver este artículo le sugerimos suscribirse a este blog